1.6 Modellierung der Induktivitäten von Verbindungsstrukturen

Die Modellierung von dreidimensionalen Verbindungsstrukturen benötigt die Methode von partiellen Induktivitäten [38], da a priori der Rückstrompfad nicht bekannt ist. Da die aktuellen Schleifen unbekannt sind, ist die partielle Induktivität definiert aus dem magnetischen Fluß von einem Stromsegment herrührend durch eine virtuelle Schleife mit Unendlich (Abb. 1.8).

Abbildung 1.8: Definition der Schleife von partiellen Induktivitäten
\begin{figure}
\psfrag{\\ phi}{\Huge$\Psi$}
{\resizebox{0.60\textwidth}{!}{\includegraphics[{angle=0}]{part}}}\end{figure}

Verweisend auf Abb. 1.9 kann die Schleifeninduktivität als Summe von partiellen Selbst- und Gegeninduktivitäten ausgedrückt werden [39]

$\displaystyle L_{Schleife}$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^{K=4}\,\sum_{m=1}^{M=4} S_{km} L_{p_{km}}\,,\quad \mathrm{mit\,\,} S_{km}= \pm1\,.$ (1.3)

Abbildung 1.9: Geschlossene Leiterschleife mit 4 Segmenten:
$ L_{Schleife}=L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}-L_{13}-L_{24}-L_{31}-L_{42}$
\begin{figure}
\psfrag{Lp11}{\large$L_{p_{11}}$}\psfrag{Lp22}{\large$L_{p_{22...
...
{\resizebox{0.60\textwidth}{!}{\includegraphics[{angle=0}]{partl}}}\end{figure}

$ K$ und $ M$ gibt die Anzahl der Segmente der Leiterschleife an. Die Matrix der partiellen Induktivitäten $ L_{p_{km}}$ ist positiv definit, $ S_{km}$ hängt von der Stromrichtung in den Segmenten ab, nämlich vom Vorzeichen des skalaren Produkts der beiden Stromrichtungsvektoren der Segmente $ k$ und $ m$. Parallele Leiter mit gleicher Stromrichtung ergeben demnach ein positives Vorzeichen, parallele Leiter mit entgegengesetzter Stromrichtung ein negatives Vorzeichen. Segmente mit orthogonaler Stromverteilung tragen nichts zur Schleifeninduktivität bei, da hierfür die partielle Induktivität $ L_{p_{km}}$ entsprechend (1.4) identisch Null ist. Durch die Definition, dass alle Segmente ihren Rückstrompfad im Unendlichen haben, werden die partiellen Induktivitäten benutzt, um etwaige Schleifenwechselwirkungen in Stromkreisen ohne das Wissen vom wirklichen Strompfad zu repräsentieren. Abbildung 1.10 illustriert, dass die Schleifeninduktivität aus den partiellen Induktivitäten folgt.

Abbildung 1.10: Schleifeninduktivitäten folgen aus den Kopplungen der partiellen Induktivitäten. Wo sich die Schleifen von C und D überlappen, hebt sich der Fluß vom linken Leiterpaar auf, es bleibt exakt die Schleifenkopplung wie in klassischen, geschlossenen Stromkreisen über.
\begin{figure}{\resizebox{0.61\textwidth}{!}{\includegraphics[{angle=0}]{path}}}\end{figure}

Partielle Induktivitäten werden zumeist numerisch ausgewertet, es existieren eine Reihe von Näherungsformeln [40] für Leiteranordnungen bestimmter Geometrien, für einfache Geometrien sind auch geschlossene Lösungen vorhanden [41], wenngleich geschlossene Lösungen selbst für gewöhnliche Geometrien außerordentlich verwickelt sind (s. beispielsweise Anhang B). Partielle Induktivitäten für zwei Segmente (Abb. 1.11) sind folgenderweise definiert:

$\displaystyle L_{p_{km}}$ $\displaystyle =\frac{\mu}{4\pi}\frac{1}{A_k A_m}\int_{{\cal A}_k}\int_{{\cal A}...
...mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}_{km}}\,{\mathrm d}A_k\,{\mathrm d}A_m\,.$ (1.4)

Abbildung 1.11: Parameter in Gleichung (1.4)
\begin{figure}
\psfrag{Ak}{\Large$A_k$}\psfrag{Am}{\Large$A_m$}\psfrag{dlk...
...{\resizebox{0.54\textwidth}{!}{\includegraphics[{angle=0}]{ruehli}}}\end{figure}

Dabei sind $ A_k$, $ A_m$ die Querschnittsflächen der Segmente senkrecht zur Stromrichtung, und $ l_k$ bzw. $ l_m$ ihre Längen. $ {\mathrm
d}\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle l$}}
{\mbox{\boldmath $\...
...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle l$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle l$}}_k$ und $ {\mathrm d}\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle l$}}
{\mbox{\boldmath $\...
...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle l$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle l$}}_m$ sind die Einheitsvektoren in Richtung der Ströme, und $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle r...
...x{\boldmath $\scriptstyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}_m\vert$ mit den beiden Ortsvektoren $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle r...
...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}_m$.

Falls der Rückstrompfad bekannt ist oder zumindest abgeschätzt werden kann, kann die ganze Schleife mit einer Schleifeninduktivität modelliert werden. Abbildung 1.12 kann durchaus ein Teil von einem komplexen Stromkreis sein. Nehmen wir an, dass die Struktur keine Gleichstromverbindung zu benachbarten Teilen aufweist, so wird der äquivalente Stromkreis durch partielle

Abbildung 1.12: Verbindungsstruktur: Hin- und Rückleiter (a), Leitung als Stromkreismodell (b), Schleifeninduktivität (c)
\centerline{%
\begin{minipage}[b]{0.36\textwidth}\centerline{\hss\resizebox{\lin...
...!}{\includegraphics[clip]{eloop}}}
\vspace{5pt}\centerline{(c)}\end{minipage}}

Induktivitäten erhalten (Abb. 1.12b), und mündet schließlich unter Berücksichtigung der Kopplungen in dem Äquivalenzstromkreis Abb. 1.12c. Aus (1.3) folgt für die Schleifeninduktivität

$\displaystyle L_{Schleife}$ $\displaystyle =L_{s1}+L_{s2}-2M\,.$ (1.5)

Daraus ist auch klar nachvollziehbar, warum im Entwurf Bedacht auf einen möglichst nahen Rückstrompfad gelegt wird, um die Schleifeninduktivitäten zu minimieren. Ebenso wie sich aus der Einbeziehung des Rückstrompfades ein minimal möglicher Wert für die Schleifeninduktivität ergibt, ist eine obere Schranke mittels Annahme eines Rückstrompfades im Unendlichen durch die partielle Selbstinduktivität des Leiters gegeben, wobei die Selbstinduktivität des Rückstrompfades und die Gegeninduktivität Null wird [42].

Eine Näherung von IC Rückstrompfaden, die häufig angewandt wird, ist, dass am Ende die Signalleitungen auf Erde geschaltet sind, oder der Rückstrompfad in der Nähe platziert ist, sodass der gesamte Strompfad bekannt ist. Er wird ohne Kapazität modelliert. Mit einer komplexen RL Matrix können effizient Schleifeninduktivitäten für lange Verbindungsleitungen ermittelt werden. Dieses einfache Modell vernachlässigt die kapazitiven Verschiebungsströme durch kapazitive Kopplungen von benachbarten Leitungen, und kann nicht für CMOS Stromkreise verwendet werden [43].

Für den Hochfrequenzanteil des Spektrums wird der Skineffekt besonders wichtig auf den oberen Metalllagen, wo die Weite der Strukturen größer ist als die Eindringtiefe1.6. Aufgrund der Frequenzabhängigkeit geht man vielfach dazu über, mittels R($ f$), L($ f$) und C die Übertragungseigenschaften zu charakterisieren. Bezüglich der geometrischen Abmessungen von Verbindungsleitungen ist anzumerken, dass die lateralen Dimensionen der Verbindungsstrukturen nahe 1 $ \protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m sind, während typische Längen von globalen Verbindungsleitungen im Bereich um 1 cm liegen [44]. Für globale Verbindungsleitungen läßt sich das Übertragungsverhalten, inklusive der Berechnung der Verzögerungszeit gut mit verteilten Größen behandeln. In [45] wird gezeigt, dass für eine typische globale Verbindungsleitung bei einer Frequenz von 1 GHz der induktive Anteil der Leitungsimpedanz vergleichbar zum Widerstand wird, und über 4 GHz dramatisch überhand nimmt.



Fußnoten

... Eindringtiefe1.6
Die Eindringtiefe ist definiert als jene Tiefe, bei der die Stromdichte 37 % (1/e) der Oberflächenstromdichte beträgt.

C. Harlander: Numerische Berechnung von Induktivitšten in dreidimensionalen Verdrahtungsstrukturen