3. Grundlagen der Feldberechnung

In diesem Kapitel werden die physikalischen Zusammenhänge wiedergegeben, die durch partielle Differentialgleichungen und Randbedingungen bestimmt sind. Die Grundlagen der klassischen Elektrodynamik bilden die Maxwell-Gleichungen

$\displaystyle \nabla\!\times\!\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle H$}} {\...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle H$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle H$}}$ $\displaystyle =\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath$...
...math$\scriptstyle D$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle D$}}}}{\partial{t}},$ (3.1)
$\displaystyle \nabla\!\times\!\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle E$}} {\...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle E$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle E$}}$ $\displaystyle =-\frac{\partial{\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle B$}} {...
...math$\scriptstyle B$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle B$}}}}{\partial{t}},$ (3.2)
$\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle D$}} {\m...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle D$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle D$}}$ $\displaystyle =\rho,$ (3.3)
$\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle B$}} {\m...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle B$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle B$}}$ $\displaystyle =0$ (3.4)

und die Materialgleichungen

$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle B$}} {\mbox{\boldmath$\...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle B$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle B$}}$ $\displaystyle = \mu\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle H$}} {\mbox{\boldm...
...}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle H$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle H$}},$ (3.5)
$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle D$}} {\mbox{\boldmath$\...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle D$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle D$}}$ $\displaystyle = \makebox{\boldmath$\varepsilon$}\mathchoice{\mbox{\boldmath$\di...
...}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle E$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle E$}},$ (3.6)
$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath$\...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle J$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle J$}}$ $\displaystyle = \gamma\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle E$}} {\mbox{\bo...
...}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle E$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle E$}}.$ (3.7)

Die Materialparameter sind die magnetische Permeabilität $ \mu$, die elektrische Permittivität $ \makebox{\boldmath $\varepsilon$}$, und die elektrische Leitfähigkeit $ \gamma$. Die magnetische Permeabilität $ \mu$ wird als konstant angenommen, da keine magnetischen Materialien behandelt werden. Global erfolgen die Verknüpfungen (3.5, 3.6) über die wesentlich geometrieabhängigen Kapazitäts- bzw. Induktivitätskoeffizienten.

Potenzialformulierungen erweisen sich häufig als günstig, da sie zur Reduktion der Anzahl der Feldvariablen führen. Der Ansatz

$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle B$}} {\mbox{\boldmath$\...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle B$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle B$}}$ $\displaystyle =\nabla\!\times\!\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle A$}} {...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle A$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle A$}}$ (3.8)

mit dem magnetischen Vektorpotenzial  $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle A$}}$ löst formal (3.4) für beliebige Vektorfelder. Damit folgt aus (3.2) mit dem Skalarpotenzial $ \varphi$ für die elektrische Feldstärke

$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle E$}} {\mbox{\boldmath$\...
...A$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle A$}}}}{\partial{t}}-\nabla\!\varphi\,.$ (3.9)

Durch die Einführung der Potenziale $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle A$}}$, $ \varphi$ sind die Felder $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle E$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle E$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle E$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle E$}}$, $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle B$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle B$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle B$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle B$}}$ eindeutig festgelegt, allerdings gilt nicht die Umkehrung, da die Änderung der Potenziale mit einem hinreichend glatten, beliebigen Skalarfeld $ C$ die gleichen Felder $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle E$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle E$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle E$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle E$}}$, $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle B$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle B$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle B$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle B$}}$ ergeben

$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle A$}} {\mbox{\boldmath$\...
...style A$}}+\nabla{C}, \quad \varphi'=\varphi-\frac{\partial{C}}{\partial{t}}\,.$ (3.10)

Zur eindeutigen Festlegung des Vektorpotenzials $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle A$}}$ ist noch eine Aussage über die Quellen dieses Feldes zu treffen. Zwei Eichtransformationen haben sich als besonders vorteilhaft herausgestellt, nämlich die Lorentz-Eichung und die Coulomb-Eichung.

Die Lorentz-Eichung führt zu zwei entkoppelten Wellengleichungen, deren partikuläre Lösung durch retardierte (verzögerte) Potenziale dargestellt wird. Dann errechnen sich das Potenzial $ \varphi$ und das Vektorpotenzial $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle A$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle A$}}$ nicht aus den derzeitigen Werten, sondern aus früheren [75,76]. Die Coulomb-Eichung führt auf eine Poisson-Gleichung für das Skalarpotenzial und für das Vektorpotenzial auf eine Vektor-Poisson-Gleichung, wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird.


Unterabschnitte

C. Harlander: Numerische Berechnung von Induktivitšten in dreidimensionalen Verdrahtungsstrukturen