3.2 Statische Näherung

Im statischen Fall verschwinden die Zeitableitungen in den beiden ersten Maxwell-Gleichungen (3.1, 3.2). Dies entspricht der Frequenz $ f=0$. Das magnetische und das elektrische Feld sind nun vollständig entkoppelt, d.h. die Stromdichte ist unabhängig vom magnetischen Feld und vereinfacht sich entsprechend (3.7) und (3.9) zu

$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath$\...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle J$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle J$}}$ $\displaystyle =-\gamma\nabla\!\varphi\,,$ (3.51)

und (3.43) zu

$\displaystyle \mathrm{\Delta}\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle A$}} {\m...
...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle A$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle A$}}$ $\displaystyle =\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}\gamma\nabla\!\varphi\,.$ (3.52)

Stromkontinuität ist gegeben durch (3.44), falls $ \nabla\!\cdot\!\gamma\nabla\!\varphi=0$ im Leiter erfüllt ist. Die Stromdichte ergibt sich aus der Euler-Gleichung

$\displaystyle \nabla\!\cdot\!\gamma\nabla\!\varphi=0\,,$ (3.53)

die innerhalb der leitfähigen Segmente gelöst wird. Dazu sind an den Kontakten Randbedingungen zu spezifizieren, wobei ein konstantes Potenzial (Dirichlet-Randbedingung) oder eine konstante Stromdichte (Neumann-Randbedingung) angegeben werden kann. Allerdings muss, wie bereits in Abschnitt 3.1.2 erläutert, jede Verdrahtungsstruktur zumindest einen Dirichlet-Kontakt besitzen, da ansonsten, um die Eindeutigkeit herzustellen, ein beliebiger Punkt auf ein beliebiges Potenzial gesetzt werden muss.

Nachdem die Stromdichte ermittelt wurde, kann nunmehr (3.52) benutzt werden um für jede Koordinatenrichtung separat das magnetische Vektorpotenzial zu berechnen, da es sich um drei unabhängige Lösungen der Poisson-Gleichung handelt. Abschnitt 7.1 gibt Aufschluss über die Vorgabe der Randbedingungen für das magnetische Vektorpotenzial.


C. Harlander: Numerische Berechnung von Induktivitšten in dreidimensionalen Verdrahtungsstrukturen