A Mittlerer Abstand zweier Störstellen

 

Der mittlere Abstand R benachbarter Störstellen läßt sich schreiben als

$$R= b\,N^{-\frac{1}{3}}$$ (A.1)

mit einem Koeffizienten b, der von der Unterteilung des betrachteten Volumens abhängt. Fragt man nach der Zahl der Störstellen in einem Würfel der Kantenlänge R, so erhält man b=1 [Scl56]. Nimmt man eine Kugel mit Durchmesser R so folgt b = 0.62. Ridley [KF89] erhält auf Grund wahrscheinlichkeitstheoretischer Überlegungen für $b\approx 0.55$.

Um die Willkürlichkeit bezüglich der geometrischen Unterteilung zu umgehen, kann man sich folgendes überlegen. Der effektive Bohr-Radius, der ein Maß für die räumliche Ausdehnung des gebundenen Elektrons der Störstelle in einem Halbleiter darstellt, ist gegeben durch

$$a^{*}_{\mathrm{B}}=\frac{\epsilon_{\mathrm{sc}}}{m}\, \frac{4... ...lon_{\mathrm{sc}}}{\frac{m}{m_{0}} } \,0.53\!\cdot\!10^{-10}.$$ (A.2)

Mit $\epsilon_{si}=11.7$ und $m_{si}=0.32\,m_{0}$ erhalten wir für den Bohr-Radius in Si etwa 17 Å, während der Abstand zweier Si-Atome im Gitter 2.35 $\mbox{\AA}$ ist. Bei niedriger Dotierung überlappen die H-ähnlichen Wellenfunktionen der Donatorelektronen nicht, sodaß bei T=0 der Halbleiter ein Isolator ist. Mit zunehmender Dotierung überlappen die Wellenfunktionen, sodaß der Übergang vom Isolator zum Metall erfolgt (Mott-Übergang). Dieser fließende Übergang von lokalisierten zu freien Elektronen entsteht, wenn der durchschnittliche Abstand der Störstellen vergleichbar wird mit dem effektiven Bohr-Radius a_B^*. Dann geht die Ionisierungsenergie der Störstelle gegen Null, sodaß das Elektron sich frei bewegen kann. Wir erhalten die Gleichung

$$2\,a^{*}_{\mathrm{B}} = b\,N_{\mathrm{c}}^{ -\frac{1}{3}}$$ (A.3)

Nach b aufgelöst ergibt sich

$$b=2\,\frac{\epsilon_{\mathrm{sc}}}{m}\, \frac{4\pi\epsilon_{0}\hbar^2}{e^2}\,N_{\mathrm{c}}^{\frac{1}{3}}$$ (A.4)

Für Si wird eine kritische Dotierung von $N_{c}\approx 3.74\!\cdot\!10^{18}$ cm^-3 gemessen [Kit86]. Damit erhalten wir $b\approx 0.6$. Andererseits lautet das Mott-Kriterium

$$N_{c}^{\frac{1}{3}} a_{B}^{*}\approx 0.25$$ (A.5)

welches experimentell für Systeme bestätigt wurde, in denen N_c über 9 Größenordnungen variiert. Das würde bedeuten, daß der durchschnittliche Abstand der Störstellen zirka vier Bohr-Radien entspricht und $b\approx 0.5$ ist.

Andererseits unterscheiden sich die Ionisationsenergien für unterschiedliche Donatoren in Silizium. Das wiederum bedeutet, daß auch der effektive Bohr-Radius unterschiedlich sein muß, was experimentell nachgewiesen wurde. Es konnte festgestellt werden, daß das Mott-Kriterium für unterschiedliche Dopanden in Si verschiedene Werte ergibt [CL75]. Strenggenommen bedeuten das, daß damit auch der mittlere Abstand benachbarter Störstellen vom Dopandentyp abhängt.

Da Sb in Si die geringste Ionisationsenergie besitzt, muß das Donatorelektron besonders weit vom Kern sein, was wiederum den relativ großen effektven Bohr-Radius impliziert. Lose gebunde Elektronen sind besonders stark polarisierbar, was einen besonders starken Anstieg von $\epsilon$ mit sich bringt, wenn sich die Dotierung der kritischen Dotierung N_c nähert [CL75].

Zusammenfassend läßt sich sagen, daß die Werte für b , die in der jüngeren Literatur zu finden sind, zwischen etwa 0.5 (Experiment) und 0.55-0.62 (Theorie) schwanken.