C Dalitz-Integrale

  Integrale der Form

$${\cal I}_{m,n} (\alpha,\beta;\vec{k_{\mathrm{} i}},\vec{k_{\... ...(\beta^2 + \vert \vec{q} - \vec{k_{\mathrm{} f}} \vert^2)^n }$$ (C.1)

mit $m,n = 1, 2, \ldots$ nennt man Dalitz-Integrale [Dal51].

Durch die Substitutionen

$$\begin{eqnarray}a&=& \alpha^2 + \vert\vec{q} -\vec{k_{\mathrm{} i}}\vert^2 \\ b&=& \beta^2 + \vert\vec{q} -\vec{k_{\mathrm{} f}}\vert^2 \end{eqnarray}$$ (C.2)

und unter Benutzung der Feynman-Identität [Joa75]

$$\frac{1}{a^{m}b^{n}}= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!(n-1)!} \int\limi... ...\frac{t^{m-1}(1-t)^{n-1}}{[at + b (1-t)]^{m+n}} \,{\mathrm d}t$$ (C.3)

läßt sich (C.1) schreiben als

$${\cal I}_{m,n} (\alpha,\beta;\vec{k_{\mathrm{} i}},\vec{k_{\m... ...silon ) ( \Gamma^2 + \vert \vec{q} - \vec{A} \vert^2 )^{m+n} }$$ (C.4)

mit

$$\begin{eqnarray}\Gamma^2& =& \alpha^2 t + \beta^2 (1-t) + t \,(1-t) \vert\vec{k_... ...& t \, \vec{k_{\mathrm{} i}} + (1-t)\, \vec{k_{\mathrm{} f}}\; .\end{eqnarray}$$ (C.5)

Wir erhalten ein eindimensionales Integral in t und ein Raumintegral der Form

$${\cal L}_{s} (k,\Gamma,\vec{A})= \int \frac{{\mathrm d}\vec{q... ...lon ) ( \Gamma^2 + \vert \vec{q} - \vec{A} \vert^2 )^{s} }\; .$$ (C.6)

Setzt man s=1 und legt die z-Achse des Vektors $(q,\theta_{q},\phi_{q})$ in Richtung von $\vec{A}$, so erhält man

$${\cal L}_{1} =\pi \int\limits_{0}^{\pi} \sin\theta_{q}{\mathr... ...amma^2 + q^2 + A^2- 2q A\cos\theta_{q} ) } \,{\mathrm d}q \; .$$ (C.7)

Nach kurzer Nebenrechnung erhält man unter Zuhilfenahme des Residuensatzes

$${\cal L}_{1} (k,\Gamma,A) = \frac{\pi^2 \,i}{A} \log \frac{k+A+ i \Gamma }{k-A+ i \Gamma } \; .$$ (C.8)

Durch sukzessives Differenzieren nach $\Gamma$ ergibt sich [Joa75]

$${\cal L}_{s} (k,\Gamma,A)= - \frac{1}{2(s-1)\Gamma} \,\frac{\partial {\cal L}_{s-1}}{\partial\Gamma}\; .$$ (C.9)

Betrachten wir den Fall m=n=1 mit $\vert \vec{k_{\mathrm{} i}}\vert=\vert \vec{k_{\mathrm{} f}}\vert=k$ , so erhält man für (C.1) unter Verwendung von (C.5)

$$\begin{eqnarray}{\cal I}_{1,1} & = & \int\limits_{0}^{1} {\cal L}_{2} (k,\Gamm... ...}t}{ \Gamma [ 2ik\Gamma - ( \alpha^2 t + \beta^2 (1-t) ) ] } \; .\end{eqnarray}$$ (C.10)

Durch die rationale Transformation

$$z=\frac{\alpha}{\beta} \frac{t}{(1-t)}$$ (C.11)

geht (C.10) über in

$$\begin{eqnarray}{\cal I}_{1,1} &=& \int\limits_{0}^{\infty} \frac{ \pi^2 \,{\ma... ... &=& z^2 + \frac{\alpha^2 +\beta^2 + q^2}{\alpha\beta}\,z +1 \; .\end{eqnarray}$$ (C.12)

Unter Verwendung des Satzes von Vieta kann man nun $\Delta$ durch seine Wurzeln z₁ und z₂ darstellen,

$$\Delta (z) = (z+z_{1})(z+z_{2}) \; .$$ (C.13)

Durch Übergang auf die Variable

$$u (z)= \sqrt{z_{1}} \,\sqrt{\frac{z+z_2}{z+z_1} }$$ (C.14)

läßt sich (C.12) überführen in

$${\cal I}_{1,1} = 2\pi^2 \int\limits_{\sqrt{z_1}}^{\sqrt{z_2}} \frac{{\mathrm d}u}{a_{1} u^2 + b_{1} u +c_1}$$ (C.15)

mit

$$\begin{eqnarray}a_{1}& = & \alpha\beta^2 \sqrt{z_2}-\beta\alpha^2 \sqrt{z_{1}}\\... ..._{1} & =& \alpha^2 \beta \sqrt{z_2}-\alpha\beta^2 \sqrt{z_1} \; .\end{eqnarray}$$ (C.16)

Da die Koeffizienten des Integranden in (C.15) nicht positiv definit sind, müssen wir noch folgende Transformation durchführen:

$$v(u)= \sqrt{z_2} \, \left( \frac{u-\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2} -u } \right)$$ (C.17)

(C.15) wird damit zu

$${\cal I}_{1,1} =2\pi^2 \int\limits_{0}^{\infty} \frac{{\mathrm d}v }{ a_{2} v^2 +b_{2}v +c_{2}}$$ (C.18)

mit

$$\begin{eqnarray}a_{2}&= & \alpha\beta (\beta -2ik)(\sqrt{z_1}+ \sqrt{z_2})\\ b_... ... c_{2}&= & \alpha\beta (\alpha -2ik)(\sqrt{z_1}+ \sqrt{z_2})\; .\end{eqnarray}$$ (C.19)

Das Integral (C.18) ist elementar und hat die Lösung

$${\cal I}_{1,1} = \frac{2\pi^2}{D}\log \frac{b_{2}+D}{b_{2}-D}$$ (C.20)

mit D²= b₂²-4a₂c₂.