3.6.2 Integrale thermische Simulation  

Die integrale thermische Simulation behandelt jene Fälle, bei denen am Bauteil ein hochfrequentes periodisches Signal angelegt wird, wobei eine einzelne elektrische Periode die Gittertemperaturverteilung relativ schwach beeinflußt. Um zu einer realistischen Temperaturverteilung zu kommen, müßte man über eine hohe Anzahl von Perioden simulieren, was aufgrund langer Rechenzeiten unrealistisch ist. Um eine für die Gittererwärmung adäquate Leistungsdichte berechnen zu können, wird der transiente Vorgang über eine Periode simuliert und eine äquivalente Leistungsdichte ermittelt. Dabei werden nur die Halbleitergleichungen gelöst, wobei die Zeitschrittgröße im Fall einer hochfrequenten Simulation aus den Änderungen der elektrischen Größen berechnet wird. Im Falle einer niederfrequenten Simulation werden die stationären elektrischen Gleichungen mit äquidistanten Zeitschritten berechnet. Aus dieser Leistungsdichte wird anschließend eine stationäre Lösung der Gittertemperatur berechnet. Danach folgt die Neuberechnung der Materialparameter, wie Zustandsdichten, Bandkantenenergien u.s.w., in Abhängigkeit der aktuellen Gittertemperatur. Nun beginnt eine weitere transiente Simulation über die betrachtete Periode, die zu einer neuen stationären Gittertemperaturverteilung führt. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende stationäre Gittertemperaturverteilungen um einen definierten Maximalwert unterscheiden. Anschließend wird noch einmal das Gesamtsystem transient gelöst, wobei als Anfangsbedingung für die Gittertemperatur die integrale Temperaturverteilung herangezogen wird.

Bei der transienten Simulation über die Periode werden ausschließlich die elektrischen Gleichungen gelöst. Ob das elektrische System überhaupt transient gelöst werden muß, hängt dabei von der betrachteten Periodendauer ab (siehe Abschnitt 3.6.1). Ein Beispiel einer integralen, niederfrequenten thermischen Berechnung zeigt die folgende Simulation. Der simulierte Bauteil ist ein n-Kanal MOSFET, dessen Drainspannungsverlauf einem Dreieckssignal mit einer Periodendauer von t=10^-6s entspricht. Die Drainspannung steigt in dieser Zeit linear von 0V auf 3V an. Die stationären Halbleitergleichungen werden dabei in äquidistanten Zeitschritten berechnet. Die dabei berechnete Ausgangskennlinie ist in Abbildung 3.27 dargestellt. Bei der Simulation sind die thermischen Kontaktwiderstände von Source und Drain mit $R_{therm.}=1.0\mathrm{K \cdot cm^2/W}$ angenommen. Der Widerstand des Bulkkontaktes ist mit $R_{therm.}=3.0\cdot 10^{-3}\mathrm{K \cdot cm^2/W}$ spezifiziert.

  

Abbildung 3.27: Ausgangskennlinie des simulierten MOSFET ($V_S=V_B=0\mathrm{V}, V_G=3\mathrm{V}$).

Integriert man das Produkt aus $P(t)\!=\!I(t)\!\cdot \!U(t)$ über eine Periode, so entspricht das der pro Periode aufgenommenen Leistung. Eine Abschätzung ergibt die Verlustenergie von $H\cdot \Delta t=3.36\cdot 10^{-10}$J. Nimmt man an, daß kein Wärmefluß über die Kontakte abfließt und daß innerhalb des Bauteils kein Wärmefluß auftritt ($\mathrm{grad}\; T\!=\!0$), so kann man eine obere Schranke für die Gittererwärmung innerhalb einer Periode angeben

$$\begin{eqnarray} \Delta T=\frac{1}{\rho_L\cdot c_p\cdot V}\cdot H \cdot \Delta t... ...cdot 50\cdot 10^{-18}}\cdot 3.36\cdot 10^{-10}=4.36\mathrm{K}\; . \end{eqnarray}$$ (3.31)

Das Ergebnis der transienten Simulation einer Periode ist in Abbildung 3.28 gezeigt. Aufgrund der gewählten thermischen Widerstände von Source- und Drainkontakt fließt der Großteil der generierten Wärme über den Substratkontakt ab. Durch ungünstige thermische Widerstände können Situationen gegeben sein, die bei beliebig kleinen Strömen und niedrigen Frequenzen im transienten Fall starke Bauteiltemperaturüberhöhungen hervorrufen.

  

Abbildung 3.28: Temperaturverlauf des simulierten MOSFETs nach einer Periode ($V_S=V_B=0\mathrm{V}, V_G=3\mathrm{V}$). Der Großteil der elektrischen Energie verbleibt als thermische Energie im Bauteil.

Das Ergebnis der integralen thermischen Simulation des MOSFETs ist in Abbildung 3.29 gezeigt. Man erkennt die deutliche Temperaturzunahme gegenüber Abbildung 3.28.

  

Abbildung 3.29: Temperaturverlauf des MOSFETs nach der integralen Simulation ($V_S=V_B=0\mathrm{V}, V_G=3\mathrm{V}$). Innerhalb einer Periode fließt soviel thermische Energie aus dem Bauteil ab, wie elektrische Energie zugeführt wurde.

Durch die kleinen Abmessungen und die gute thermische Leitfähigkeit von Halbleitern ist bei den heute üblichen Frequenzen die stationäre Bauteiltemperaturüberhöhung schnell erreicht. Bei Materialien mit schlechter Wärmeleitung kann es jedoch auch bei isothermen Randbedingungen zu großen Abweichungen zwischen der integralen Simulation und der Simulation einer Periode kommen. Ein Beispiel dazu zeigt die folgende Simulation eines SOI-Bauelements mit thermisch schlecht leitender, dicker vergrabener Oxidschicht. Bei der Simulation ist am Drainkontakt ein Dreieckssignal mit einer Frequenz von f=10⁶ Hz angelegt. Das Drainsignal steigt dabei von 0 auf 4 V an. Abbildung 3.30 zeigt den Temperaturverlauf nach einer Periode. Die 90nm aktive Siliziumschicht hat sich während dieser Zeit stark aufgeheizt. Die dabei entstandene Wärme fließt großteils über Source- und Drainkontakt ab. Aufgrund der schlechten Wärmeleitung beträgt die Eindringtiefe der Temperaturüberhöhung in der vergrabenen Oxidschicht nur ca. $1\mu m$. Über den Bulkkontakt fließt praktisch noch keine Wärme ab. Der Bauteil ist mit drei isothermen Randbedingungsmodellen spezifiziert.

  

Abbildung 3.30: Temperaturverlauf des SOI-MOSFET nach einer Periode ($V_S=V_B=0\mathrm{V}$, $V_G=4\mathrm{V}$). Angelegt ist ein Dreieckssignal mit der Periodendauer von t=10^-6s. Die isothermen Kontakte sind mit 300K angenommen. Die aktive Siliziumschicht beträgt 90nm. Aufgrund der schlechten thermischen Leitfähigkeit des Oxides, kann die generierte Wärme nur ca. $1\mu\mathrm{m}$ in das Oxid eindringen.

Ganz anders verhält sich die Situation bei der integralen Simulation, die in Abbildung 3.31 gezeigt ist, in der ein entsprechender Anteil des Wärmeflusses über den Bulkkontakt abströmt. Man erkennt die deutliche Temperaturzunahme gegenüber Abbildung 3.30.

  

Abbildung 3.31: Temperaturverlauf des SOI-MOSFET nach der integralen Simulation ($V_S=V_B=0\mathrm{V}, V_G=4\mathrm{V}$). Angelegt ist ein Dreieckssignal mit der Periodendauer von t=10^-6s. Die isothermen Kontakte sind mit 300K angenommen. Die aktive Siliziumschicht beträgt 90nm.