3.3 Phononen  

  Thermische Energie versetzt das Kristallgitter in Schwingungen. Diese Quanten der Gitterschwingungen heißen Phononen. Das einfachste Modell zur Vorstellung ist eine lineare Atomkette. Die Auslenkung der Atome charakterisiert durch den Index m, $u(m)=u\,\exp(j\,q\,m\, a)$, kann in die klassische Bewegungsgleichung eingesetzt werden und liefert die Dispersionsrelation für die akustischen Schwingungen, $\omega(q) \propto \sin\!\left(\frac{a\,q}{2}\right)$. Zu beachten ist:

• Zur Beschreibung der Phononen ist wieder die BZ ausreichend.
• Die Wellenzahl q ist prinzipiell quantisiert aufgrund der periodischen Randbedingung, die den unendlich ausgedehnten Kristall repräsentiert. Praktisch ist diese Quantisierung vernachlässigbar.
• Sowohl longitudinale  als auch transversale   Ausbreitung akustischer Phononen ist möglich (LA, TA).
• Die Nachbaratome können auch gegenphasig schwingen und liefern den Zweig der optischen Phononen , da $\omega(q) \approx const$ (einige 10¹² Hz). Das klassische Analogon dazu ist eine stehende Welle. Es gibt wiederum longitudinale und transversale optische Moden (LO, TO).
• Für eine Kristallstruktur mit n Atomen pro Elementarzelle gibt es im allgemeinen $3\,n$ Zweige, davon 3 akustische. Für die betrachteten kubischen HL (n=2) findet man also je drei akustische und optische Moden.

  

Abbildung 3.6: Phononenspektrum von GaAs

Das Phononenspektrum ist in Abbildung 3.6 für GaAs als typisches Beispiel dargestellt. Zu Modellierungszwecken verwendet man die Näherung für große Wellenlänge ($q\approx 0$) und berücksichtigt den

• akustischen Zweig , der charakterisiert ist durch eine konstante mittlere Schallgeschwindigkeit $v_{\mathrm{}} = \frac{\partial \omega}{\partial q} = const$, und den
• optischen Zweig mit konstanter mittlerer Energie $\hbar\,\omega_{\mathrm{LO}}= const$, da nur die LO Moden mit den Elektronen interagieren können.

Die Besetzung der Phononen einer Mode $\omega$ folgt der Bose-Einstein Statistik ,

$$N(q) = \frac{1}{\exp\!\left(\displaystyle\frac{\hbar\,\omega}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right)-1}\,.$$ (3.22)

Phononen sind per se eine Störung des idealen Kristalls und bewirken so eine Verkopplung zwischen dem Gitter und den Elektronen (Phononenstreuung ). Dabei wird Energie in Quanten von $\hbar\,\omega$ ausgetauscht.