2.4 Ladungsträgerstreuung



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2.4 Ladungsträgerstreuung

 

Blochwellen breiten sich in einem periodischen Gitterpotential völlig ungestört aus. Abweichungen von der idealen Periodizität, verursacht durch thermische Gitterschwingungen, ionisierte Störstellen und andere Kristalldefekte, führen zum Auftreten von Streuzuständen, die im Rahmen der quantenmechanischen Störungstheorie behandelt werden können. Zustandsänderungen werden mit Hilfe der Übergangsrate beschrieben, die durch die goldene Regel von Fermi [32] gegeben ist,

 

Der Ausgangszustand wird durch den Wellenvektor beschrieben und besitzt die Energie , der Endzustand durch bzw. . Der Energiebetrag tritt auf, wenn das Streupotential zeitabhängig ist und mit oszilliert. Damit man dem Zustand nach der Streuung eine scharfe Energie zuordnen kann, muß die Zeit nach dem Streuvorgang gegen unendlich gehen. Für sehr häufig aufeinanderfolgende Streuvorgänge ist diese Bedingung nicht mehr erfüllt. In diese Fall gilt auch die strenge Energieerhaltung nicht mehr, wie wie sie in der Gleichung 2.47 durch die Deltafunktion repräsentiert wird. Vielmehr tritt eine Unbestimmtheit in der Energie auf, ein Effekt, der als ,,collision broadening`` bezeichnet wird.

ist das Matrixelement des Streupotentials zwischen den Zuständen und , das definiert ist als

 

Setzt man die Wellenfunktionen 2.3 des ungestörten Problems ein, so läßt sich das Matrixelement 2.48 wie folgt faktorisieren

 

Das darin auftretende Kristallvolumen rührt von der Normierung der Blochfunktionen (Gleichung 2.3) her. Weiters bedeuten

die Fouriertransformierte des Streupotentials und das Überlappungsintegral

 

Im Überlappungsintegral gehen die gitterperiodischen Blochfaktoren ein. Für parabolische Bänder ist . Da das Überlappungsintegral für allgemeine Bänder schwierig auszuwerten ist, ist es eine weit verbreitete Näherung, dieses im Matrixelement 2.49 eins zu setzen. Der Einfluß des Überlappungsintegrals wird dann näherungsweise über die Kopplungskonstante im Streupotential berücksichtigt, da diese Kopplungskonstante in der Regel nicht genau bekannt ist und daher als Anpassungsparameter verwendet werden kann.

Um die totale Streurate zu erhalten, muß über alle möglichen (diskreten) Endzustände summiert werden,

 

Die Streuraten, die wir betrachten, ändern den Spin eines Elektrons nicht. Der symbolische Summationsindex in dieser Gleichung soll andeuten, daß die Summation über jene Zustände erfolgt, die den gleichen Spinzustand wie der Ausgangszustand besitzen.

Wenn ein Elektron im Kristallvolumen lokalisiert ist, ist auch sein Wellenvektor quantisiert. Die Anzahl der möglichen -Zustände kann entweder aus den Randbedingungen für die Schrödingergleichung oder direkt aus der Heisenbergschen Unschärferelation bestimmt werden. Als Ergebnis kann man sich den -Raum in Zellen eingeteilt denken, die das Volumen

besitzen. Jede Zelle kann nun durch zwei Elektronen, die sich nur in ihrem Spin unterscheiden, besetzt werden. Daher ist die Dichte der Zustände im -Raum gegeben durch

 

Mit Hilfe dieser Dichte kann man von einer Summation über diskrete Zustände zu einer Integration über kontinuierliche Zustände übergehen,

Als Integrationsbereich ist das Innere der ersten Brillouinzone zu wählen. Bei einfacheren Bandmodellen, in denen der Rand einer Brillouinzone gar nicht vorkommt und damit eine Beschränkung des Wellenvektors nicht auftritt, ist über den unbeschränkten -Raum zu integrieren.

In der Summation für die totale Streurate 2.52 kommen nur Zustände eines Spins in Frage, weshalb beim Übergang zur Integration die Zustandsdichte

verwendet werden muß. Somit läßt sich die totale Streurate anschreiben als

 

Vergleicht man diese Gleichung mit der Definition 2.37, so erhält man für die Streurate

 



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Martin Stiftinger
Wed Oct 12 11:59:33 MET 1994