3.2.1 Parameter der Ratengleichung

Das Präzipitationsverhalten der {311}-Defekte läßt sich mittels Gl. 2.16 beschreiben. Das Verhalten wird vom effektiven Reaktionskoeffizienten $D\lambda_n$ und den Gleichgewichtskonzentrationen C_n^* bestimmt. Diese sind durch Gl. 2.18 von der Oberflächen- und Deformationsenergie $\Delta G^{\mathrm {ex}}(n)$ abhängig. Sowohl in [Gen97] als auch in [Hob97] und [Dun93] wird davon ausgegangen, daß sich sowohl die Deformationsenergie als auch die Oberflächenenergie des planaren Defektes mit

$$\Delta G^{\mathrm {ex}}(n)=Kn^{1/2},$$ (3.7)

abhängig von der Anzahl n der Atome im Präzipitat und einem geometrischen Koeffizienten K, entwickeln. Mit Gl. 3.7 und Gl. 2.18 ergibt sich die Gleichgewichtskonzentration C_n^* zu

$$C_n^* = C_{\mathrm {ss}}\exp\left(K(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \right),$$ (3.8)

wobei die Sättigungskonzentration $C_{\mathrm {ss}}$ und der geometrische Faktor K die Parameter des Modelles sind.

Bei der Modellierung des effektiven Reaktionskoeffizienten $D\lambda_n$ muß auf das Wachstumsverhalten der Defekte Rücksicht genommen werden. Nachdem die Defekte hauptsächlich in der Länge wachsen, während die Breite nach oben begrenzt ist, kann man annehmen, daß die Einbindung zusätzlicher Atome nur an den kurzen Kanten eines Rechteckes einer Breite w und der Länge l stattfindet (siehe Abb. 3.1). Aus der Lösung des stationären lokalen Diffusionsfeldes in der Umgebung der Reaktionszonen an beiden Enden eines Defektes läßt sich nach [Hob97] der diffusionslimitierte Reaktionskoeffizient $\kappa_d$ approximieren:

$$\kappa_d = 4\pi D_I \left(\frac{1}{2(w/4+r_0)} + \frac{1}{2\sqrt{ l^2 + (w/4+r_0)^2}}\right)^{-1} = 4\pi D_If_g.$$ (3.9)

  

Abbildung 3.1: Schematische Darstellung eines {311}-Defektes mit der Länge l und der Breite w. Die reaktiven Zonen an den Enden des planaren Präzipitates werden zylindrisch mit einem Radius r angenommen.

Die Reaktionszonen werden an den beiden Enden des Defektes als Zylinder mit der Länge w und dem Radius r₀ angenommen, welcher gleich der Gitterkonstante (5.43Å) gesetzt wird. Bei geringer Länge l verschmelzen die beiden Zylinder zu einer gemeinsamen Hülle, sodaß im Grenzfall l=0 nur mehr einer übrigbleibt. Dieser Tatsache wird durch den geometrischen Faktor f_g Rechnung getragen, welcher einer Interpolation zwischen den Grenzwerten für l=0 und $l=\infty$ entspricht.

Der reaktionslimitierende Anteil des Reaktionskoeffizienten ergibt sich unter Verwendung von Gl. 2.10, Gl. 2.14 und Gl. 3.7 zu

$$\begin{split} \kappa_r &= A\frac{4D_I}{\delta_{\mathrm {if}}... ...left(\frac{K}{kT}\cdot(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\right), \end{split}$$ (3.10)

wobei $\delta_{\mathrm {if}}=\delta=2.35$Å der Dicke des Interfaces zwischen Präzipitat und Gitter gleich dem kleinsten interatomaren Abstand und die Oberfläche des Reaktionsvolumens zu $A=2\pi r_0 w$ gesetzt werden. Der Einfluß der Bindungsenergie wird durch $C_n^*/C_{\mathrm {ss}}$ ausgedrückt. Der effektive Reaktionskoeffizient berechnet sich schließlich ähnlich entsprechend Gl. 2.12 zu

$$\kappa_n = D\lambda_n=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\kappa_r}+\frac{1}{\kappa_d}}.$$ (3.11)

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, daß durch die Modellierung des Reaktionskoeffizienten die Abhängigkeit der Reaktion von $C_{\mathrm {ss}}/C_I$ eingeführt wird, welche nur durch die Diffusionslimitation begrenzt wird.