3.2.3 Numerisch effizientes Präzipitationsmodell

 

Verschiedenste Ansätze implementierter Präzipitationsmodelle reichen von der Lösung der Ratengleichungen an jedem Ort [Cha96] über reduzierte Modelle, welche nur wenige Momente der Größenverteilung beinhalten [Gen97] [Hob97], bis zur einfachen Berücksichtigung der Sättigungsgrenze [Raf96].

Während die einfachen Modelle den Ostwald-Reifungsprozeß entweder gar nicht, oder nur durch einen globalen Parameter reproduzieren können, liefern komplexere Modelle wesentlich bessere Übereinstimmung mit den Ergebnissen. Allerdings benötigen diese zwei oder drei zusätzliche Größen zur Beschreibung der räumlichen Präzipitatverteilung und der Größenverteilung der Präzipitate. In [Hob97] wurde gezeigt, daß es zur Beschreibung der Ostwald-Reifung ausreicht, neben der Präzipitatkonzentration eine mittlere Präzipitatgröße zu berücksichtigen, während in der Arbeit von [Gen97] mit drei Momenten praktisch die gleiche Qualität erreicht wurde. In [Raf96] wurde hingegen überhaupt nur mit der Präzipitatkonzentration gerechnet, ohne den Einfluß der Ostwald-Reifung zu berücksichtigen, wodurch jedoch bereits relativ große Fehler in Kauf genommen werden müssen.

Anhand von Gl. 2.16 erkennt man, daß alle Umwandlungsreaktionen von Präzipitaten nur unter Aufnahme, beziehungsweise Abgabe, eines Interstitials stattfinden können. Entsprechend Abb. 3.1 wird angenommen, daß das Wachstum und die Auflösung der {311}-Defekte nur an den kürzeren Seiten der näherungsweise rechteckigen Präzipitate stattfinden können. Ab einer gewissen Größe des Präzipitates steigt daher die reaktive Oberfläche nicht mehr wesentlich an. Für relativ große Präzipitate hängt daher die Gesamtreaktionsrate $\kappa$(Gl. 2.12) hauptsächlich von der Anzahl der Präzipitate ab und die Abhängigkeit von der Präzipitatgröße ist schwach. Sind im System hauptsächlich große Präzipitate vorhanden, so ändert sich bei deren Auflösung die Anzahl der Präzipitate kaum, jedoch wird deren Größe reduziert.

Der Ansatz des hier vorgestellten Modelles geht daher von einer konstanten Dichte N_P der Präzipitate aus, deren Größe S_P als Lösungsvariable berechnet wird. Durch diesen Ansatz ist einerseits die Berücksichtigung des Einflusses der Präzipitatgröße möglich, und andererseits muß nur eine einzelne zusätzliche Gleichung verwendet werden.

In der Bildungsphase der Präzipitate kann die Wachstumsdynamik jedoch nicht wiedergegeben werden, da die relativ geringe Anzahl an Präzipitaten zu keiner ausreichenden Interstitial-Bindung ausreicht. Die Bildungsrate von Interstitial-Interstitial-Paaren, dem kleinstmöglichen Präzipitat, ist proportional dem Quadrat der Interstitial-Konzentration C_I². Erweitert man die Ratengleichung um diesen Term, erreicht man auch für die Bildungsphase zu Beginn des Prozesses das gewünschte Verhalten. Der gesamte Gleichungssatz ergibt sich somit zu

$$\begin{split} {\frac{\partial{S_P}}{\partial{t}}}&=\frac{1}{N... ...IC_V - C_I^{\mathrm {eq}}C_V^{\mathrm {eq}} \right) \end{split}$$ (3.12)

worin r₀ dem Wirkungsradius der Interstitial-Paarung und $\kappa_n$ dem Reaktionskoeffizienten gemäß Gl. 2.12 unter Verwendung von Gl. 3.9 und Gl. 3.10 entspricht. Es sei hierbei angemerkt, daß sowohl der Reaktionskoeffizient als auch die Gleichgewichtskonzentration C_n^* von der Präzipitatgröße S_P abhängen.

Ohne den Korrekturterm proportional zu C_I² bestimmt der Term in den eckigen Klammern die Gleichgewichtskonzentration der Reaktion zu C_n^*. Damit der Korrekturterm diesen Wert nicht wesentlich beeinflußt, muß dessen Beitrag bei C_I=C_n^* vernachlässigbar sein. Daraus folgt eine untere Schranke für N_P

$$N_P\gt\frac{\kappa_1}{\kappa_n}\frac{{C_n^*}^2}{\Delta C_I}$$ (3.13)

wenn $\Delta C_I$ einer zulässigen Störung des Gleichgewichtes entspricht.