4.2.1 Methode der finiten Boxen

Sowohl bei der FEM als auch bei bei der FBM ist die Gitterinformation gleichermaßen aus Knoten und Elementen aufgebaut. Die Näherung der betrachteten Differentialoperatoren erfolgt bei der FBM in integraler Form, welcher sich mit Hilfe des Gauß'schen Integralsatzes als Hüllenintegral darstellen läßt:

$$\int\limits_V{\nabla \left( k \nabla u \right) \,{\mathrm d}V} = \oint\limits_B{ k \nabla u \cdot \,{\mathrm d}\vec{s}}.$$ (4.3)

Jedem Knoten wird dazu das sogenannte Boxvolumen V zugeordnet (Abb. 4.1), welches durch die Berandung B, bestehend aus den Streckensymmetralen der Gitterlinien und deren Schnittpunkten, definiert ist (Voronoi-Boxen). In dreidimensionalen Gittern ist die Berandung durch die entsprechenden Normalebenen und deren Schnittlinien definiert.

Obiges Hüllenintegral wird durch die Summierung der Teilflüsse über die Berandung der Voronoi-Box j näherungsweise bestimmt:

$$\oint\limits_{B}{ k \nabla u \cdot \,{\mathrm d}\vec{s}} \si... ...\limits_{i=1}^{n}{\frac{A_i}{l_{ij}} \left(a_j - a_i \right)}.$$ (4.4)

Zur Auswertung dieser Summe sind die geometrischen Koeffizienten A_i/l_ij, welche dem Verhältnis zwischen dem Kopplungsquerschnitt A_i und dem Knotenabstand l_ij entsprechen, notwendig. Die eindeutige Zuordnung jeder Kopplung zu einer Gitterlinie legt die Verwaltung des Gitters in der Form von Linienelementen nahe [Fis94a]. Jedem Linienelement wird dazu der entsprechende geometrische Koeffizient zugeordnet, da die auf den beiden berandenden Gitterpunkten vorhandene Koordinateninformation nicht ausreicht, um den geometrischen Koeffizienten zu bestimmen. Zusätzlich ist jedem Knoten das Volumen der Voronoi-Box zugeordnet. Eine Veranschaulichung dieses Sachverhaltes gibt Abb. 4.1. Das Volumen der dem zentralen Knoten zugeordneten Voronoi-Box ist schraffiert und die stückweise lineare Berandung der Voronoi-Boxen entspricht den Kopplungsquerschnitten zwischen zwei Knoten.

  

Abbildung 4.1: Diese Skizze veranschaulicht die linienweise Bearbeitung
eines FB-Gitters.

Die Berechnung der den Linien zugeordneten Kopplungsquerschnitte sowie der den Knoten zugeordneten Boxvolumina wird als vorbereitender Schritt einmal für das gesamte Gitter durchgeführt und gespeichert. Dem Vorteil der nur einmal notwendigen Berechnung der geometrischen Koeffizienten stehen der Speicherbedarf für die Speicherung derselben und die quasi ``Einzementierung'' der Gittertopographie entgegen. Während die Datenmengen der Geometrieinformation bei ortsfestem Gitter moderat sind, trifft dies bei Problemen bei denen nach den Ortskoordinaten gelöst werden muß, nicht mehr zu. Zur Berechnung der Ableitungsmatrix sind dann zusätzlich die Ableitungen der Geometriekoeffizienten nach den variablen Ortskoordinaten nötig, sodaß zur Berechnung derselben zumindest die Information über die Nachbarschaftsbeziehungen gespeichert werden müßte, wodurch ein Speicherbedarf in der Größenordnung des mehrfachen Bedarfes für die globale Systemmatrix entstünde. Durch die Einfachheit des verwendeten Linienelementes bietet die FBM jedoch unbestrittene Vorteile bei der Formulierung komplexer physikalischer Modelle, welche im Rahmen der Simulation von Halbleitergleichungen und Diffusionsgleichungen erfolgreich genützt werden [Fis94b] [Sim94] [TMA95].

Die Anforderungen an ein Werkzeug zur Simulation moderner Prozeßschritte beinhalten jedoch auch die Forderung nach variablem Simulationsgebiet, wie dies bei thermischen Oxydationsschritten oder auch bei der Berechnung von Reflow-Schritten auftritt. Die verwendete Methode muß also dahingehend erweiterbar sein, und zugleich auch die Leistungsmerkmale der FBM bieten. Die inhärente Struktur der FBM und die direkte Abbildung derselben (vgl. [Fis94a]) ermöglicht jedoch keine effiziente Lösung von Gleichungen, in denen nach den Ortskoordinaten der Gitterknoten gelöst werden muß.