Bei der Definition der zulässigen Zerlegungen muß man darauf achten, daß mit den erlaubten Zerlegungsarten immer ein Übergang zwischen verfeinertem und unverfeinertem Gebiet möglich sein muß. Wenn also die Zerlegungen mit zwei zusätzlichen Punkten nicht erlaubt werden, muß trotzdem sichergestellt sein, daß auch in diesem Fall die topologische Verfeinerung lokal konvergiert, ohne daß das gesamte Gitter dabei verfeinert wird. Anhand Abb. 7.7 wird veranschaulicht, wie die topologische Verfeinerung abläuft, wenn in einem Element zwei zusätzliche Punkte einzufügen sind. Abb. 7.7a zeigt einen Gitterausschnitt nachdem zwei Elemente aufgrund numerischer Kriterien vollständig verfeinert wurden. Während im nächsten Schritt die zwei Dreiecke mit jeweils einem zusätzlichen Punkt zerlegt werden (Abb. 7.7b), muß das mittlere Element mit zwei weiteren Punkten aufgrund der fehlenden Zerlegungsvariante vollständig verfeinert werden. Es verbleibt nur mehr ein Element mit einem zusätzlichen Punkt, welches dann in der nächsten Rekursion entsprechend zerlegt werden kann (Abb. 7.7c).
Damit die Verfeinerung lokal bleibt, muß es mit den zur Verfügung stehenden Zerlegungsvarianten möglich sein, alle Nachbarelemente eines einzelnen, vollständig verfeinerten Elementes anzupassen. In zweidimensionalen Gittern müssen dazu alle Liniennachbarn angepaßt werden, wobei als Liniennachbarn jene Elemente bezeichnet werden, die eine gemeinsame Linie haben. In dreidimensionalen Gittern existieren zwei verschiedene Arten von Nachbarschaftsbeziehungen. Neben der Liniennachbarschaft können zwei Elemente auch eine gemeinsame Fläche haben und werden dann als Flächennachbarn benannt. Klarerweise ist die Anpassungszerlegung für einen Flächennachbarn eine andere als die eines Liniennachbarn.
Abb. 7.8 zeigt die implementierten Zerlegungsarten eines Tetraeders. In der zweiten Reihe ist die Zerlegung für einen zusätzlichen Punkt an einer Linie zu sehen. In der dritten Reihe sind zwei Zerlegungen für drei zusätzliche Punkte an einer Fläche abgebildet. Mit diesen zwei Zerlegungsarten kann bereits der Übergang von einem vollständig verfeinerten Tetraeder zu nicht verfeinerten Tetraedern erreicht werden. Die dritte Zerlegung deckt den Fall zweier gegenüberliegender zusätzlicher Punkte ab, da in diesem Fall ansonsten vollständig verfeinert werden müßte.
