Die geometrischen Aspekte der Diskretisierung und die Verwaltung des Gitters wurden bereits in Abschnitt 2.3 behandelt. Die dort genannten geometrischen Informationen ergeben sich aus der Diskretisierung der Modellgleichungen. Die Effizienz des Bauelementsimulators hängt im hohen Maße von der Qualität der Diskretisierung ab. Aufgrund der günstigen Eigenschaften der Scharfetter-Gummel Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen [27][29] ist die Finite-Boxen-Methode wohl die am häufigsten verwendete Integrationsmethode der Bauelementsimulation.
Der einfachste Fall der Diskretisierung für die Finite-Boxen-Methode sei anhand der Poisson Gleichung (4.14) vorgeführt. Die Gleichung
wird in der Integralform für die Box 
geschrieben als
Die linke Seite der Gleichung kann unter Zuhilfenahme des Gaußschen Integralsatzes umgeformt werden zu (die rechte Seite bleibt unverändert)
Die Raumladung ergibt sich aus
Nun werden die Integrale durch Summen approximiert
mit dem Boxvolumen 
, den Boxflächen 
, den Abständen
der Punktpaare und der Approximation 
des
Verschiebung in Richtung der Gitterlinien. Die Raumladung
am Diskretisierungspunkt i wird innerhalb der Box als
konstant angenommen. Gleiches gilt für innerhalb der Fläche
. Wird die Gleichung umgeformt, sodaß die rechte
Seite zu Null wird, ergibt sich die diskretisierte Form der
Poisson-Gleichung:
Gleichermaßen verfährt man mit den Kontinuitätsgleichungen der
Ladungsträger (4.17, 4.18) und erhält deren
diskretisierte Form mit:
Die Diskretisierung der Energiebilanzgleichungen
(4.21, 4.22) ergibt:
Die Modellierung der Feldkomponenten , 
, 
,
und 
ist wesentlich für die Qualität der
Diskretisierung. Sie sei hier für den Fall des dielektrischen
Verschiebung als Beispiel angeführt.
Berücksichtigt man
approximiert weiters den Gradienten durch den Differenzenquotienten,
mittelt die Dielektrizitätskonstante,
erhält man schließlich
Abbildung 6.1 zeigt die diskretisierten Feldkomponenten. Die Herleitung für die Stromdichten findet sich in [11] und es werden hier nur die Ergebnisse angeführt.
Abbildung 6.1: Die diskretisierten Komponenten der
Stromdichten, die parallel zur Verbindung 
orientiert sind.
Für die Assemblierung des linearen Gleichungssystems müssen die
Funktionen 
, 
, 
, 
und
(6.6, 6.7,
6.8, 6.9, 6.10) und
deren Ableitungen nach den unabhängigen Variablen 
, 
,
, 
und 
berechnet und in die Systemmatrix und den
Rechte-Seite-Vektor eingetragen werden. Dazu werden in
MINIMOS-NT zwei Funktionen des Assembliermoduls verwendet.
Die Funktion easAddMatrixEntry() dient zum Eintragen von
Termen, die dem Volumen einer Box zugeordnet sind, wie etwa
in Gleichung (6.6):
Der Term wird zum Eintrag der 
-ten
Zeile des Rechte-Seite-Vektors addiert und dessen negative Ableitung
wird zum
Eintrag der -ten Zeile und 
-ten Spalte der
Systemmatrix addiert.
Die Funktion easAddMatrixDoubleEntry() dient zum Eintragen
von Termen, die den Flächen einer Box zugeordnet sind. Diese
Terme beschreiben Flüsse aus der Box i in die Box 
. Ein
solcher Fluß ist etwa der Term 
in Gleichung
(6.7). Er fließt von der Box i in die Box
. Der Term 
in der Kontrollfunktion
und der Term 
in der Kontrollfunktion
unterscheiden sich daher nur durch ihr Vorzeichen.
Es ist daher numerisch günstiger, nur einmal zu
berechnen und mit unterschiedlichem Vorzeichen in die Systemmatrix und
den Rechte-Seite-Vektor einzutragen als beide Terme getrennt zu
behandeln:
Der Fluß Iij wird zum Eintrag der -ten Zeile des
Rechte-Seite-Vektors addiert und vom Eintrag der 
-ten
Zeile des Rechte-Seite-Vektors subtrahiert. Die negative Ableitung des
Flusses 
Iij=
DIijDni wird zum Eintrag der -Zeile und
-Spalte der Systemmatrix addiert und vom Eintrag der
-Zeile und -Spalte der Systemmatrix
subtrahiert. Die negative Ableitung des Flusses
Iij=DIijDnj wird
zum Eintrag der -Zeile und -Spalte der
Systemmatrix addiert und vom Eintrag der -Zeile und
-Spalte der Systemmatrix subtrahiert.