1.2.3 Boltzmann-Transport-Gleichung



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1.2.3 Boltzmann-Transport-Gleichung

 

Bei der Berechnung der Implantationsprofile mittels der Boltzmanngleichung - Beschreibungen sind etwa in [Chr80], [Tak83], [Gil85a], [Tak85], [Gil86] oder [Tak86] zu finden - wird die Veränderung der Impulsverteilung während des Eindringens des Ionenstrahls in das Target betrachtet. Mit

 

lautet die Boltzmann-Transportgleichung für den dreidimensionalen Fall für den Punkt

 

wobei der Impuls, die atomare Dichte des Targets, die Anfangsenergie und die Wahrscheinlichkeit einer Kollision des Ions mit einem Targetatom ist.

  
Abbildung: Boltzmannverteilung: Kollisionsvorgang in der Verteilungsmatrix (nach Giles [Gil86]).

Ionen können nun vom Zustand (Impuls) durch einen Kollisionsvorgang in den Zustand übergehen und umgekehrt. Zu Beginn bewegen sich alle Ionen mit gleicher Geschwindigkeit (definiert durch die Anfangsenergie ) in die gleiche Richtung (gegeben durch ), das heißt, daß die Impulsverteilung an der Oberfläche eine -Funktion ist. Nach jedem Schritt wird jener Anteil der Verteilungsfunktion, dessen Energie unter einen gewissen Schwellwert fällt, am Ort abgespeichert. Außerdem muß dieser Betrag aus der Verteilungsfunktion des Ionenstrahles entfernt werden. Der Rest wird weiterverfolgt bis auch diese Ionen ihre Energie soweit verloren haben, daß sie zum Stillstand kommen.

  
Abbildung: Lösung der Boltzmann-Transportgleichung für die Bestimmung von Implantationsprofilen (nach Giles [Gil86]).

Für eindimensionale Rechnungen kann durch die Energie und den Neigungswinkel der Bewegungsrichtung zur Koordinatenachse ersetzt werden. Für die numerische Berechnung wird die Verteilungsfunktion im eindimensionalen Fall nach Giles [Gil86] als zweidimensionale Matrix mit den Einträgen für Teilchen, die sich mit der Energie in Richtung bewegen (siehe Abb. 1.1), repräsentiert. Die Ermittlung des ortsabhängigen Implantationsprofiles nach dieser Methode kann der Abb. 1.2 entnommen werden.

Im zweidimensionalen Fall müssen noch der azimutale Winkel und die zweite Ortskoordinate hinzugenommen werden. Es muß dann der vierdimensionale -Raum diskretisiert werden, und man benötigt eine vierdimensionale Matrix mit Übergansfunktionen [Gil86]. Eine exakte Simulation wird hier aber durch den begrenzten Speicherplatz und die hohen Rechenzeiten unmöglich.

Im dreidimensionalen Fall muß schließlich ein fünfdimensionaler Raum (die zweite laterale Koordinate wird noch zusätzlich berücksichtigt) diskretisiert werden. Das ergibt noch einmal eine erhebliche Steigerung sowohl im Speicheraufwand als auch im Rechenzeitbedarf. Daher sind dreidimensionale Simulationen basierend auf der Boltzmann-Transport Gleichung nicht konkurenzfähig zu Monte-Carlo Methoden und es sind auch derzeit keine dreidimensionalen Anwendungen bekannt.

Bei nicht zu hohen Genauigkeitsanforderungen im zweidimensionalen Raum oder für eindimensionale Berechnungen ist diese Methode aber der noch später skizzierten Monte-Carlo Methode von der Rechenzeit her überlegen. Die Lösung der Boltzmanngleichung liefert im allgemeinen glattere Dotierungsprofile als die Monte-Carlo Methode. Mit beiden Techniken können Effekte wie Damage (Zerstörung der Kristallstruktur), Rückstreuung der Ionen oder Recoils (aus dem Kristall ausgeschlagene Atome) mitgerechnet werden.



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Martin Stiftinger
Sat Oct 15 14:00:19 MET 1994