3.3.1 Vertikale Verteilungsfunktionen



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3.3.1 Vertikale Verteilungsfunktionen

 

Die gebräuchlichsten vertikalen Verteilungsfunktionen sind die Gaußfunktion, die zusammengesetzte Gaußfunktion (Joined-Half-Gaussian) und die Funktionen der Pearson-Familie. Die Parameter der Gaußfunktion werden aus , und der Normalisierungsbedingung (3.3) berechnet. Mit dieser Funktion allein können reale Implantationsprofile allerdings nicht wirklich richtig beschrieben werden. Daher wird oft eine zusammengesetzte Gaußfunktion [Gib73] verwendet. Dabei werden zwei unterschiedlich breite Gaußfunktionen an ihren Scheitelpunkten zusammengesetzt:

 

Die Parameteranzahl ist hier um eins erhöht im Vergleich zur einfachen Gaußfunktion. Daher kann ein weiteres Moment, nämlich die Schiefe, , berücksichtigt werden [Sel84].

Die Verteilungsfunktionen der Pearson-Familie [Hof75a] erhält man als Lösungen der Gl. (3.11). Insgesamt gibt es sieben verschiedene Pearsonverteilungen, je nach den Werten der Koeffizienten , und aus Gl. (3.11).

 

Meistens wird die Pearson-IV-Funktion verwendet Gl. (3.13). Diese Funktion ist die Lösung von Gl. (3.11), wenn

 

erfüllt ist. Mit dieser Funktion können viele praktisch auftretende Implantationsprofile hinreichend genau approximiert werden, jedenfalls besser als mit Hilfe der vorhin besprochenen Gaußfunktionen [Wil80], [Jah81], [Rys83a].

 

Von den Parametern und sind nur vier voneinander unabhängig. Daher können nur die ersten vier Momente (oder und ) verwendet werden. Die Berechung der Parameter aus den Momenten für die hier beschriebenen drei Verteilungsfunktionen ist in der Literatur genau beschrieben [Joh70], [Gib73], [Hof75b], [Rys80], [Rys81], [Rys83b], [Sel84], [Rys86a]. Daher soll hier nicht weiter auf diese Bestimmung eingegangen werden.

In den letzten Jahren hat sich aber auch die Verwendung von überlagerten Pearson (dual Pearson) Funktionen nach Gl. (3.14) etabliert, weil damit die Implantationsprofile in kristallinem Silizium sehr gut modelliert werden können [Tas89], [Par90], [Gon92]. In kristallinem Silizium kommt es durch die regelmäßige Anordnung der Atome zur Ausbildung von sogenannten Kanälen (Channels), in denen sich die Ionen leichter fortbewegen können, weil es zu weniger Kollisionen als in anderen Richtungen kommt (Channeling) [Tho73]. Durch das Channeling dringen die Ionen zu Beginn der Implantation weiter in das Target ein. Später wird dann der Kristall dadurch, daß die implantierten Teilchen Atome aus den Gitterplätzen ausschlagen, mehr und mehr amorphisiert (Damage). Dadurch sinkt die Eindringtiefe der Ionen. Es entstehen sogenannte ,,Channeling tails``, die mittels der Überlagerung zweier Pearson-Funktionen nach Gl. (3.14) eben besser nachgebildet werden können.

 

Beim dual Pearson werden zwei Pearson-Funktionen und addiert. Der Parameter ist dabei eine Abschätzung für die Unterteilung des Implantationsprofiles in einen Teil, der von den Ionen, die den Kanal durchlaufen haben, stammt , und einen zweiten Anteil, der von einer Implantation in das bereits amorphisierte Target stammt .

Außerdem wurden Pearson-Verteilungsfunktionen auch durch andere Terme - wie zum Beispiel durch Exponentialfunktionen [Hof75a], [Ant78] - erweitert, wenn sie nicht durch alleiniges Fitten von Parametern an gemessene Profile angeglichen werden konnten. Solche Erweiterungen sind auch notwendig, wenn etwa Damage-Profile berechnet werden sollen [Hob88b].



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Martin Stiftinger
Sat Oct 15 14:00:19 MET 1994