3.3.2 Laterale Verteilungsfunktionen



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3.3.2 Laterale Verteilungsfunktionen

 

Für die lateralen Verteilungsfunktionen wurde bisher meistens nur die Gaußfunktion verwendet [Fur72], [Rys83b], [Gil88], die allerdings symmetrisch zu Null ist. Die Gleichungen sind hier immer nur für eine laterale Koordinate () angeschrieben, gelten aber natürlich genauso für .

Daß lange Zeit keine anderen Funktionen verwendet wurden, liegt nicht zuletzt daran, daß es trotz einiger Ansätze zur Messung zweidimensionaler Profile [GJ89], [Sub90], [Cer92], [Sub92] noch immer keine befriedigenden zweidimensionalen Meßdaten gibt. Zur Messung eindimensionaler vertikaler Profile hingegen gibt es relativ genaue und vergleichsweise einfache Methoden. Diese experimentellen Daten werden dann für die Verbesserung der vertikalen Verteilungsfunktionen herangezogen.

Wie später in Abschnitt 3.5 im Vergleich der analytischen Implantation mit Ergebnissen aus Monte-Carlo Simulationen noch gezeigt wird, reicht aber die Gaußfunktion nicht immer für die Berechnung der lateralen Verteilungsfunktion aus [Hob87b], [Hob88b]. Für eine genauere Beschreibung muß das nächsthöhere Moment in die Rechnung mit einbezogen werden. Das ist in diesem Fall die laterale Kurtosis . Zu diesem Zweck benötigt man einen zusätzlichen freien Parameter für die Verteilungsfunktion. In [Hob87a] wird zum Beispiel eine Modifikation der Gaußfunktion in der Art vorgeschlagen, daß die Potenz 2 durch eine allgemeine, positive Potenz ersetzt wird:

 

Die laterale Kurtosis für diese modifizierte Gaußfunktion kann durch den Parameter mittels der Gammafunktion () folgendermaßen berechnet werden:

 

Leider kann für die ebenfalls benötigte Umkehrfunktion kein analytischer Ausdruck angegeben werden. Der Wert von kann aber laut [Hob87a] mit guter Näherung aus der Kurtosis nach den Formeln (3.17) - (3.20) bestimmt werden:

 

 

 

 

nach Gl. (3.18) steht als Grenzwert für für sehr große Werte von p und laut Gl. (3.19) für . Mit aus Gl. (3.17) ergibt sich für die Faktoren und :

 

 

Auf die Ableitung der Formeln (3.17)-(3.22) wird in [Hob87a] und [Hob88a] näher eingegangen. Wie aus obigen Formeln zu ersehen ist, muß größer als 1.8 sein (sonst wird imaginär). Wenn aber gleich 1.8 ist, dann entspricht das einer Rechtecksverteilung; es gibt kein Implantationsprofil mit . Für () ergibt sich eine Gaußfunktion, für () eine Dreiecksfunktion. Für Dotierungsprofile kommt der Fall von allerdings fast nie vor. Bei Punktdefekten kann es aber doch sehr große Werte von geben. Daher soll hier als alternative Verteilungsfunktion noch die Pearson-VII-Funktion mit Gl. (3.23) angegeben werden

 

die die Lösung für Gl. (3.11) ist, wenn gilt

 

Für die Pearson-VII-Funktion ergeben sich , und laut [Joh70] zu:

 

 

 

Für geht die Pearson-VII-Verteilungsfunktion in die Gaußverteilung über. Werte für sind - analog zu den Werten im Falle der modifizierten Gaußfunktion - nicht möglich (siehe Gl. (3.25)). Als laterale Verteilungsfunktion wäre daher laut [Hob87a] für die Gaußfunktion - Gl. (3.15) - und für eine Pearson-VII Funktion - laut Gl. (3.23) - zu verwenden.



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Martin Stiftinger
Sat Oct 15 14:00:19 MET 1994