Unterabschnitte

• 2.3.1 Allgemeines
• 2.3.2 Matrixelemente des Operators der kinetischen Energie

2.3 Erweiterung auf Heterostrukturen

2.3.1 Allgemeines

Bei Heterostrukturen handelt es sich um Halbleiterbauelemente die aus mehreren Schichten von Halbleiterlegierungen bestehen ([29]). Mittels Molekularstrahl-Epitaxie oder dem Aufwachsen aus der gasförmigen Phase können heute sehr dünne Schichten mit einem abrupten Übergang aufeinander aufgebracht werden. Die Veränderung der Legierung ermöglicht eine gezielte Beeinflussung des Bandabstands der Halbleitermaterialien dieser einzelnen Schichten. Dieser Effekt führt zur Ausbildung eines Kanals wenn eine Schicht mit einem geringeren Bandabstand zwischen zwei Schichten mit einem großen Bandabstand eingeschlossen wird. Die verwendeten Materialen weisen sehr hohe Elektronenbeweglichkeiten auf, und eignen sich daher sehr gut für Hochfrequenzanwendungen. Der Heterostruktur-Feldeffekttransistor (HFET) ist ein sehr erfolgreiches Bauelement, das auf diesem Effekt aufbaut.

Durch die Möglichkeit sehr dünne Schichten mit abrupten Übergängen zu erzeugen ist bei Heterostrukturen die Untersuchung von Quanteneffekte eine wichtige Aufgabe.

2.3.2 Matrixelemente des Operators der kinetischen Energie

Die Schrödinger-Gleichung wird nun in einem Gebiet gelöst, dass sich über mehrere Schichten mit unterschiedlichen Materialparametern erstreckt. In der Quantisierungsrichtung sind die Elektronenmassen ${\ensuremath{m_{z}}}$, ${\ensuremath{m_{xy}}}$ und der Nichtparabolizitätskoeffizient ${\ensuremath{\alpha}}$ somit von der z-Koordinate abhängig. Die im folgenden beschriebene numerische Methode ermöglicht die Lösung der Schrödinger-Gleichung für eine Heterostruktur unter Berücksichtigung der nichtparabolischen Dispersionrelation (2.2).

Der Operator der kinetischen Energie ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}$ soll wieder durch (2.3) definiert sein. Um in der Basis (2.12) eine eindimensionale Schrödinger-Gleichung anschreiben zu können, greifen wir auf die Störungsrechnung zurück.

Für die ortsabhängigen Materialparametern betrachten wir die folgenden Operatoren.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}^{{\ensuremath{\alpha... ...G}}}}}_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$$ (2.52)

$${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{\alpha}}^{1/2}(z) {\ensuremath{\mathsf{k}}}_z ... ...th{m_{z}}}(z)} {\ensuremath{\mathsf{k}}}_z {\ensuremath{\alpha}}^{1/2}(z)$$

$${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{\alpha}}^{1/2}(z) {\ensuremath{\mathsf{k}}}_{\ens... ...\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}} {\ensuremath{\alpha}}^{1/2}(z)$$ (2.53)

Es gelten für die Operatoren aus (2.54) und (2.7) die in Tabelle 2.4 angegebenen Eigenfunktionen und Eigenwerte.

Tabelle 2.4: Zusammenhang der Eigenwerte und Eigenfunktionen der voneinander abhängigen Operatoren bei Heterostrukturen.

Operator	Eigenfunktion	Eigenwert
${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}^{{\ensuremath{\alpha}}}$	$\gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)}$	$\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)}$
${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$	$\gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}$	$\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}$
${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$	$\gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}$	$f(\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}})$

Wir wenden nun den Separationsansatzes (2.4) auf den Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ an.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{{\ensuremath{{\ensur... ...}}}}} {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}} {\ensuremath{\zeta}}(z) = {\ensuremath{\alpha}}^{1/2}(z) \frac{\hbar^2}{2 {\ensuremath{... ...}}}}} {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}} {\ensuremath{\zeta}}(z)$$ (2.54)

Es ergibt sich also ein vom Wellenvektor abhängiger Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}^{{\ensuremath{\alpha}}} + {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{1}^{{\ensuremath{\alpha}}} {K}^2$$ (2.55)

$${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{1}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{\alpha}}^{1/2}(z) \frac{\hbar^2}{2 {\ensuremath{m_{xy}}}(z)} {\ensuremath{\alpha}}^{1/2}(z)$$ (2.56)

Der Term ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{1}^{{\ensuremath{\alpha}}} {K}^2$ wird nun als Störung zum ungestörten Eigenwertproblem für ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ betrachtet. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ lassen sich somit über die Störungsrechnung aus den Eigenfunktionen und Eigenwerten des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ berechnen. Der Term ${K}^2$ kann dabei jeweils aus den benötigten Matrixelementen herausgezogen werden. Aus der Störungsrechnung erster Ordnung folgt zum Beispiel:

$${\vert \gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}}} \rangle} = {\vert \gam... ...}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)} - \Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)}} {K}^2$$ (2.57)

Als Näherung gilt somit folgende Darstellung für die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$.

$${} \gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}}} \approx \gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)} + \left. \gamma _{n}^{{\... ...1)} {K}^2 + \left. \gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right.^{(2)} {K}^4$$ (2.58)

$$\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}} \approx \Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)} + \left.\Gamma_{n}^{{\ens... ...{(1)} {K}^2 + \left.\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right.^{(2)} {K}^4$$

Aus (2.15) ergibt sich wieder die Spektraldarstellung des Operators der kinetischen Energie.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = \sum_n f(\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}) {\ensuremath{\mathsf... ...nsuremath{\alpha}}} \rangle}{\langle \gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}}} \vert}$$ (2.59)

Der Eigenwert $f(\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}})$ wird dabei gemäß der Näherung (2.60) in eine Potenzreihe der Ordnung vier in ${K}$ entwickelt.

$${} f \left( \Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)} + \left.\Gamm... ... {K}^2 + \left.\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right.^{(2)} {K}^4 \right) \approx a_n + b_n {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^2 + c_n {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^4$$ (2.60)

$$a_n = f \left( \Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)} \right)$$

$$b_n = f' \left( \Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)} \right) \left.\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right.^{(1)}$$

$$c_n = f' \left( \Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)} \right) \lef... ...)}{2} \left( \left.\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right.^{(1)} \right)^2$$

Der Projektionsoperator wird mit der Darstellung der Eigenfunktionen des Operators  ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ aus (2.60) näherungsweise wie folgt angeschrieben.

$${\ensuremath{\mathsf{P}}}_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}} {} \approx {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(0,0)$$ (2.61)

$$+ \left[ {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(1,0) + {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(0,1) \right] {K}^2$$

$$+ \left[ {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(1,1)... ...,0) + {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(0,2) \right] {K}^4$$

$${\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(i,j) = {\vert \left. \gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right.^{(i)} \r... ...{{\ensuremath{\alpha}}}\right.^{(0)} = \gamma _{n}^{{\ensuremath{\alpha}} (0)}$$

Wir setzen nun die beiden Approximationen (2.63) und (2.62) in (2.61) ein und berücksichtigen nur Terme in ${K}$ bis zur Ordnung 2.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}... ...nsuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(0,0) \right] {K}^2 \right\}$$ (2.62)

Aus einem Koeffizientenvergleich der Gleichungen (2.64) und (2.22) erhalten wir dann folgende Operatoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_0^{{\ensuremath{\alpha}}}$ und ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_1^{{\ensuremath{\alpha}}}$.

$${\ensuremath{\mathsf{T_0}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = \sum_n a_n {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(0,0)$$ (2.63)

$${\ensuremath{\mathsf{T_1}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = \sum_n a_n \left( {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\a... ...(0,1) \right) + b_n {\ensuremath{\mathsf{P}}}_n^{{\ensuremath{\alpha}}}(0,0)$$ (2.64)

Diese Operatoren kann man nun verwenden um nach (2.31) die Subbandmassen $m_{n}^{sbb}$ zu berechnen und die eindimensionale Schrödinger-Gleichung in Matrixform in der Basis der Eigenfunktionen $u$ anzuschreiben.