Entartungseffekte in der MC Simulation

    Ein Problem bei der Berechnung der Streuwahrscheinlichkeit vom Zustand $\vec{k}$ nach $\vec{k'}$ ist die Vernachlässigung der Besetzungswahrscheinlichkeit des Endzustandes (vgl. Abschnitt 6.1.1). Dies ist bei schwacher Ladungsträgerkonzentration sehr gut erfüllt, versagt aber im Bereich der Entartung klarerweise. Das Problem kann prinzipiell durch eine EMC Simulation gelöst werden. In diesem Fall ist im aktuellen Zeitpunkt die Verteilungsfunktion durch das Ensemble bekannt. Im Fall der Ein-Partikel Simulation kann jedoch zumindest für den Nullfeldtransport eine Lösung gefunden werden, indem das a priori Wissen über f, die ja die Fermi-Dirac  Verteilung ergeben muß, benützt wird [61]. Dabei wird für die Berechnung des freien Fluges, der Auswahl des Streuprozesses und des Endzustandes zunächst $f(\vec{k'})=0$ angenommen. Das Pauli Prinzip  wird nun dadurch berücksichtigt, daß der Streuprozeß nur dann durchgeführt wird, wenn die Bedingung

$$1 - f(E(\vec{k'})) \gt r$$ (6.54)

erfüllt ist, andernfalls wird er verworfen. r ist eine Zufallszahl im Bereich [0,1]. Diese Methode kann bei Verwendung der Ladungsträgertemperatur anstelle der Gittertemperatur in f auch für warme Elektronen und in Bauelementen anwendbar bleiben, da einerseits im Bereich hoher Dotierungskonzentrationen die Feldstärken klein sind und andererseits im Bereich hoher Felder die Trägerkonzentrationen klein und die Entartungseffekte wiederum vernachlässigbar sind. Lediglich beim Eintreten von Ladungsträgern aus Bereichen mit Nichtgleichgewichtsverteilung in hochdotierte Zonen ist ein großer Fehler zu erwarten.

Zur Verwendung von (6.54) sowie zur Bestimmung der Abschirmlänge für entartete HL (6.46) ist die Kenntnis der Fermienergie ${E_{\mathrm{F}}}$ notwendig. Aus der Bedingung der Ladungsneutralität,

$$N_{\mathrm{D}}^+ - N_{\mathrm{A}}^- +p-n= 0\,,$$ (6.55)

und der Formulierung aller Größen in (6.55) als Funktionen von ${E_{\mathrm{F}}}$ kann diese bestimmt werden. Abgesehen vom einfachsten Fall (parabolische Bandstruktur, nur eine Ladungsträger- und Dopandenart) ist dazu eine numerische Lösung notwendig. Neben der Nichtparabolizität können in diesem Fall aber auch sämtliche Hochkonzentrationseffekte konsistent mitberücksichtigt werden. Bandrenormalisierung  (BGN) , Änderungen der Ionisierungsenergie  und Erhöhung der effektiven Masse  als Funktion von n wurden bereits in den Abschnitten 5.1.3 und 5.2.4 beschrieben, ebenso Kompensation und Autokompensation. Ein zusätzlicher Effekt ist die partielle Ionisierung der Dotierstoffatome.

Der Ionisierungsgrad  der Dopanden, das Verhältnis der Konzentration der ionisierten zur Gesamtkonzentration der Störstellen, ist a priori nicht konstant. Er wird bestimmt durch die relative Lage des Ferminiveaus zu den Energieniveaus der Störstellen. Da auch für die Ladungsträgerbesetzung der Dopandenniveaus ${E_{\mathrm{d}}^{}}$ und ${E_{\mathrm{a}}^{}}$ die Fermi-Dirac Statistik  gilt, ist

$$\begin{eqnarray} N_{\mathrm{D}}^+ & = & \frac{N_{\mathrm{D}}}{1 + g_{\mathrm{D}... ...a}}^{}}-{E_{\mathrm{F}}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right)}\,. \nonumber \end{eqnarray}$$ (6.56)

$g_{\mathrm{D}}$ und $g_{\mathrm{A}}$ sind die Entartungsfaktoren  für Donatoren und Akzeptoren. Da ein Donator je einen Zustand pro Spin, ein Akzeptor hingegen je einen für lh und hh pro Spin anbietet, ist $g_{\mathrm{D}}=2$ und $g_{\mathrm{A}}=4$ [23]. Tatsächlich kann ein (einwertiger) Dopand jedoch jeweils nur von einem Elektron oder Loch besetzt werden. Mit steigender Dotierung nähert sich ${E_{\mathrm{F}}}$ der Bandkante und der Ionisierungsgrad nimmt folglich ab. Andererseits sinkt auch die Ionisierungsenergie, ${E_{\mathrm{d}}^{}}$ beziehungsweise ${E_{\mathrm{a}}^{}}$ wandert also mit ${E_{\mathrm{F}}}$ mit, und nach dem Mott Übergang  tragen alle Dopanden wieder voll zur Konzentration der freien Ladungsträger bei. Die Konsequenz all dieser Zusammenhänge ist, daß bei Raumtemperatur die partielle Ionisierung praktisch vernachlässigbar ist, mit niedrigerer Temperatur aber relevanter wird. Da mit sinkendem Ionisierungsgrad die freie Ladungsträgerkonzentration sinkt, spricht man vom ``Ausfrieren''.