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Beispiel GaAs

   Als Anwendung vorstehend beschriebener Modelle für die Hochkonzentrationseffekte wird in der Folge die Dotierungsabhängigkeit der Beweglichkeit in GaAs bei Raumtemperatur untersucht. Abbildung 6.8 zeigt den Vergleich von MC Simulationen mittels des einfachen BH Modells und einiger Verbesserungen, die in der Folge erläutert werden. Die experimentellen Daten sind dabei aus [30,166], die nicht namentlich bezeichneten dem Sammelwerk [129] entnommen. Auffallend ist neben der krassen Überschätzung von $\mu_{\mathrm{}}^{}$ die ausgeprägte Nichtmonotonität im Fall des BH Standardmodells, die von der zu geringen Streurate des Modells herrührt. Da mit steigender Dotierungskonzentration die Störstellenstreuung immer dominanter wird, steigt der Fehler mit $N_{\mathrm{D}}$.
  
Abbildung 6.8: Dotierungsabhängigkeit der Beweglichkeit in GaAs
\begin{figure} \epsfxsize0.90\textwidth \centerline{\epsfbox{ps/GaAs_mob_dop1.... ...n{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}{}\end{minipage}\end{center}\end{figure}

Man könnte vielleicht meinen, daß der Fehler von einer Überschätzung der Ladungsträgerenergie durch die Verwerfungsmethode (6.54) herrührt, da die BH Streurate im wesentlichen mit einer Potenz der Energie sinkt. Das Pauli Prinzip , in der MC Simulation repräsentiert durch die Verwerfungsmethode, bewirkt ja, daß die Elektronen im wesentlichen nur um und über der Fermienergie gestreut werden und so die Streurate in diesem Energiebereich abtasten. In Abbildung 6.9 ist die mittlere Ladungsträgerenergie $w_{\mathrm{}}^{}$, die durch

 \begin{displaymath} w_{\mathrm{}}^{} = \frac{{\left\langle {E}\right\rangle}}{{\left\langle {1}\right\rangle}} \end{displaymath} (6.57)

gegeben ist, aus der MC Rechnung mit theoretischen Werten verglichen. Dabei ist w jeweils normiert auf $k_{\mathrm{B}}\,T$ als Funktion der reduzierten Fermienergie ${\eta_{\mathrm{F}}}= \frac{{E_{\mathrm{F}}}-{E_{\mathrm{}}^{\varGamma}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}$ dargestellt. Die theoretischen Kurven wurden unter Verwendung derselben nichtparabolischen Bandstruktur, die der MC Rechnung zugrunde liegt, mittels Integration über die Fermiverteilung errechnet. Analog zu Abschnitt 3.2.1 kann der Energiemittelwert auf die Fermi-Dirac Integrale  zurückgeführt werden, sodaß gilt

 \begin{displaymath} w_{\mathrm{}}^{} = \frac{3}{2}\,k_{\mathrm{B}}T\; \frac{\su... ...hrm{B}}T\;{\cal F}_{3/2}({\eta_{\mathrm{F}}}-\xi_i)\right)}\,. \end{displaymath} (6.58)

Rij ist der Entartungsfaktor des Minimums i bezogen auf das Minimum j,

 \begin{displaymath} R_{ij} = \frac{Z_i}{Z_j}\left(\frac{{m_{\mathrm{d}}^{i}}}{{m_{\mathrm{d}}^{j}}}\right)^{\frac{3}{2}}, \end{displaymath} (6.59)

$\xi_i$ die reduzierte Energiedifferenz, $\xi_i=\displaystyle\frac{{E_{\mathrm{}}^{i}}-{E_{\mathrm{}}^{\varGamma}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}$.

Der Zusammenhang zwischen $N_{\mathrm{D}}$ und ${\eta_{\mathrm{F}}}$ ist durch die zweite Abszissenskala in Abbildung 6.9 gegeben. Für schwache Dotierung (${\eta_{\mathrm{F}}}<0$) liegt die Ladungsträgerenergie aufgrund der Nichtparabolizität  etwas über $\frac{3}{2}\,k_{\mathrm{B}}\,T$. Mit steigendem Grad der Entartung nimmt die Gleichgewichtsenergie deutlich zu. Bemerkenswert ist, daß ab ca. $10^{19}\,\mathrm{cm}^{-3}$ das L Tal populiert wird (die Talseparation ist $330\,\mathrm{meV}\approx 12\,k_{\mathrm{B}}\,T$) und daß die Gesamtenergie aufgrund der potentiellen Energie der L Elektronen stärker zunimmt. Da diese eine geringere Beweglichkeit haben, nimmt $\mu_{\mathrm{}}^{}$ nach dem relativen Maximum mit steigender Dotierung wieder ab (Abbildung 6.8). Wenn man nur das $\varGamma$ Tal betrachtet, steigt die Beweglichkeit in diesem monoton an.

Die höhere Ladungsträgerenergie aufgrund der Entartung darf nicht mit einer Erhöhung der Elektronentemperatur , die in die Verteilungsfunktion eingeht, assoziiert werden. Die Ladungsträger befinden sich nach wie vor im Equilibrium und folglich auf Gittertemperatur. Da sowohl die Gesamtenergie wie auch die Energie der Elektronen in den Tälern sehr gut mit den theoretisch erwarteten übereinstimmen, ist die Schlußfolgerung legitim, daß die verwendete Methode zur Berücksichtigung der Entartung in den MC Rechnungen die Verteilungsfunktion korrekt wiedergibt und daß daher der Grund für die Nichtübereinstimmung mit dem Experiment tatsächlich in den Schwächen der Coulombstreurate und anderen physikalischen Modellen liegt.


  
Abbildung 6.9: Vergleich der Gleichgewichtsenergie für Elektronen im $\varGamma$ Tal und der totalen Elektronenenergie von MC Daten (BH) mit theoretischen Werten in n-GaAs. Die Ladungsträgerenergien sind normiert auf $k_{\mathrm{B}}\,T$ als Funktion der reduzierten Fermienergie und der Ladungsträgerkonzentration dargestellt.
\begin{figure} \epsfxsize0.90\textwidth \centerline{\epsfbox{ps/GaAs_en_dop.ep... ...n{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}{}\end{minipage}\end{center}\end{figure}

Die Berücksichtigung der konzentrationsabhängigen Änderung der LB Dispersion und Erhöhung der Zustandsdichte, die durch eine Erhöhung der effektiven Masse als Funktion von n modelliert wird  (siehe Abschnitt 5.2.4), reduziert ${E_{\mathrm{F}}}$ bei konstanter Konzentration und verkleinert somit den Fehler etwas (Kurve +mass in Abbildung 6.8). Einen wesentlichen Effekt hat die Berücksichtigung der kohärenten Paarstreuung (Kurve +pair in Abbildung 6.8). Im entarteten Bereich wird die Übereinstimmung mit den experimentellen Daten stark verbessert, aber auch im Bereich niedriger Dotierung liefert diese Korrektur eine nennenswerte Verbesserung. Eine weitere Absenkung der Beweglichkeit bei hohen Dotierungen bringt die Verwendung des Formfaktors, erkenntlich am Beispiel von Dotierung mit Si (Kurve +Si in Abbildung 6.8).

In Abbildung 6.10 ist die Abhängigkeit der Beweglichkeit vom Donatorelement gezeigt. Die Meßdaten sind aus [30,121,166,211] beziehungsweise [129] entnommen. Neben den beiden schon in der vorigen Abbildung enthaltenen Kurven, nämlich dem nicht dopandenspezifischen verbesserten BH Modell (+pair) und der Kurve inklusive des Formfaktors für Si, sind gerechnete Kurven für die Donatoren Se und Sn gezeigt.

  
Abbildung 6.10: Dotierungsabhängigkeit der Beweglichkeit in GaAs für verschiedene Donatoren
\begin{figure} \epsfxsize0.90\textwidth \centerline{\epsfbox{ps/GaAs_mob_dop2.... ...n{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}{}\end{minipage}\end{center}\end{figure}

Für $N_{\mathrm{D}}<10^{17}\,\mathrm{cm}^{-3}$ hat F(q) keinen Einfluß, daher ist in der Folge auch nur der Hochkonzentrationsbereich dargestellt. Mit steigender Dotierung wird die Korrektur von $\mu_{\mathrm{}}^{}$ größer, wobei sie mit wachsender Ordnungszahl Z betragsmäßig zunimmt. Für konstante Dotierungskonzentration nimmt die Beweglichkeit in der Reihenfolge der Dotierungselemente Si, Se und Sn ab. Dies kann durch den funktionalen Verlauf des Formfaktors  erklärt werden, da die effektiv wirksame Ladung Z-F(q) in den Streugrößen (vgl. (6.45)) immer größer als +1, dem Wert für einwertige Donatoren bei Vernachlässigung von F(q), also $F(q)\approx F(0)=N$, ist (vgl. Abbildung 6.11).

  
Abbildung 6.11: Charakteristische Streugröße $(Z-F(\theta))^2$ für verschiedene Donatoren in GaAs
\begin{figure} \epsfxsize0.90\textwidth \centerline{\epsfbox{ps/ff_maj.eps}} ... ...n{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}{}\end{minipage}\end{center}\end{figure}

Da mit steigender Dotierung der mittlere Impulsübertrag q zunimmt, nimmt auch die Korrektur durch den Formfaktor zu. Ebenso steigt die mittlere Energie der Ladungsträger mit der Dotierung an und somit wird der Unterschied in Z-F(q) und damit in $\mu_{\mathrm{}}^{}$ zwischen den Donatoren größer. Nur für Kleinwinkelstreuung, $q\approx 0$, die für niedrige Dotierungen auftritt, ist die Annahme $F(q)\approx N$, also das BH Modell, gültig. Betragsmäßig ist der Unterschied in $\mu_{\mathrm{}}^{}$ zwischen dem leichtesten und schwersten Element eher klein (3% bei $10^{18}\,\mathrm{cm}^{-3}$ bis maximal 20% bei $10^{19}\,\mathrm{cm}^{-3}$), sodaß die in der Praxis vorgenommene Vernachlässigung der Speziesabhängigkeit keine allzu großen Fehler verursacht.

Die Abhängigkeit der Beweglichkeit von der Dopandenart wurde bisher in der Literatur nur experimentell untersucht und für Verbindungshalbleiter wohl auch aufgrund der Streuung der Meßwerte generell für vernachlässigbar gehalten [127]. In Si  hingegen sind dopandenspezifische Unterschiede in $\mu_{\mathrm{}}^{}$ eindeutig experimentell nachgewiesen worden [141]. Dotierung mit As (Z=33)  führt zu kleineren Werten als mit P (Z=15) , was ebenfalls durch das Modell klar bestätigt wird [103]. Für das Beispiel GaAs weisen die Vorhersagen der Rechnung bezüglich der Verschiedenheit von $\mu_{\mathrm{}}^{}$ als Funktion von Z durchaus dieselbe ``Schwankungsbreite'' wie die Meßdaten auf und insofern besteht kein Widerspruch zum Experiment.

Die gegenständliche Untersuchung zeigt aber die Bedeutung der Simulation als numerisches Experiment, das unter wohldefinierten Rahmenbedingungen und für ideale Proben Zusammenhänge untersuchen kann, die einer meßtechnischen Identifizierung nur schwer zugänglich sind.

Die analytische Modellierung des Einflusses der Donatorenspezies auf $\mu_{\mathrm{}}^{}$, welcher erst im entarteten Bereich einsetzt, kann durch Erweiterung von (6.39) um einen rationalen Term erfolgen, der den Einfluß der Spezies ausgedrückt durch die Abhängigkeit von Z berücksichtigt:

 \begin{eqnarray} \mu_{\mathrm{LAI}}^{}(Z) & = & \frac{\mu_{\mathrm{LA}}^{}-\m... ...\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{Vs}] \nonumber\\ Z_0 & = & 14 \nonumber \end{eqnarray} (6.60)

Das Modell gilt für alle flachen Donatoren von GaAs (Si, S, Se, Sn), also 14 < Z < 50. Sämtliche Koeffizienten wurden durch nichtlineare Regression bestimmt. Ein Vergleich des vorgestellten analytischen Modells mit MC Daten ist in Abbildung 6.12 dargestellt.
 
Abbildung 6.12: Elektronenbeweglichkeit für verschiedene Donatoren in GaAs: Vergleich von MC Daten mit dem analytischen Modell (6.60)
\begin{figure} \epsfxsize0.90\textwidth \centerline{\epsfbox{ps/GaAs_mob_maj_s... ...n{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}{}\end{minipage}\end{center}\end{figure}

Die naheliegende Möglichkeit zur Erklärung der verbleibenden Diskrepanz zwischen den MC Rechnungen und experimentellen Daten im Bereich $N_{\mathrm{D}}\gt 10^{18}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ist die Berücksichtigung von Kompensationseffekten.  Abbildung 6.13 zeigt die Beweglichkeit für verschiedene konstante Werte des Kompensationsgrades $\theta$ unter Verwendung des verfeinerten Modells am Beispiel von Dotierung mit Sn. Die Abszisse ist nunmehr die Ladungsträgerkonzentration, die bei Kompensation gleich der Nettodotierung ist. Mit steigendem $\theta$ sinkt der Abschirmungseffekt, ${E_{\mathrm{F}}}$ und natürlich auch $\mu_{\mathrm{}}^{}$.


  
Abbildung 6.13: Dotierungsabhängigkeit der Beweglichkeit in Sn dotiertem GaAs für verschiedene Werte der Kompensation $\theta$
\begin{figure} \epsfxsize0.90\textwidth \centerline{\epsfbox{ps/GaAs_mob_dop_c... ...n{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}{}\end{minipage}\end{center}\end{figure}


  
Abbildung 6.14: Einfluß von Autokompensation auf die Dotierungsabhängigkeit der Beweglichkeit in GaAs
\begin{figure} \epsfxsize0.90\textwidth \centerline{\epsfbox{ps/GaAs_mob_dop_a... ...n{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}{}\end{minipage}\end{center}\end{figure}

Um die vorliegenden experimentellen Daten zu erklären, ist, wie aus den Kurven ersichtlich, ein mit der Dotierung zunehmender Kompensationsgrad nötig. Genau das liefert der Effekt der Autokompensation . In Abbildung 6.14 sind Kurven für Autokompensation von Si und Sn neben dem unkompensierten Fall (Sn) gezeigt. Die dabei verwendeten Parameterwerte für ${n_{\mathrm{sat}}}$ entsprechen in etwa den experimentell beobachteten, tatsächlich erreichbaren Maximalkonzentrationen für Dotierung mit Si (${n_{\mathrm{sat}}}=10^{19}\,\mathrm{cm}^{-3}$) und Sn (${n_{\mathrm{sat}}}=2.5\times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-3}$) [181].

Obwohl das benutzte einfache Modell (6.41) die Kompensation bei schwacher Dotierung unterschätzt und dann einen zu starken Anstieg hin zur Sättigungskonzentration ${n_{\mathrm{sat}}}$ aufweist, kann doch eine zufriedenstellende Übereinstimmung mit dem Experiment erreicht werden.


 
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Christian Koepf
1997-11-11