3.10.4 Die Eigenschaft ,,M-Matrix``



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3.10.4 Die Eigenschaft ,,M-Matrix``

 

Nun soll geklärt werden, unter welchen Umständen die Matrix eine M-Matrix ist.gif Da Dreieckselemente mit linearen Formfunktionen einfache geometrische Deutungen zulassen, soll geklärt werden, unter welchen Umständen ein Nebendiagonaleintrag negativ ist.

Die Variationsformulierung des Laplace-Operators in Dreieckskoordinaten

mit den linearen Formfunktionen

ergibt die folgenden drei Matrizen

und deren geometrische Koeffizienten

Zur Vereinfachung der Darstellung sollen die auch in Abbildung 3.13 gezeigten Dreieckskanten mit bezeichnet werden. Die Terme und sind die quadrierten Dreieckskantenlängen und . wird durch die gemischten partiellen Ableitungen gebildet und ist als darstellbar. Die drei Terme , und haben einen Gewichtungsfaktor gemeinsam, der durch die zweifache Dreiecksfläche bestimmt wird. Da eine Knotennumerierung gegen den Uhrzeigersinn vorausgesetzt wird, ist das äußere Produkt immer positiv.

  
Abbildung 3.13: Delaunay-Kriterium

Aus diesen Überlegungen läßt sich ableiten, daß nur sein Vorzeichen wechseln kann.

Um eine Aussage über die assemblierte Matrix zu machen, sind zunächst die Einträge der Elementsmatrix

zu untersuchen. Bei den Diagonaleinträgen ist nur der erste Eintrag näher zu betrachten. Durch eine Umformung mit

zeigt sich, daß dieser Eintrag immer positiv sein muß. Es gilt also allgemein:

Bei den Nebendiagonaleinträgen soll der ausgesuchte Term untersucht werden. Die daraus gewonnene Schlüsse können verallgemeinert werden, da bei gleicher Elementsanordnung und zyklischer Vertauschung der lokalen Knotennumerierung eines Elements die Gesamtmatrix die gleichen Einträge in geänderter Reihenfolge vorweisen muß.

Der Eintrag mit dem Koeffizienten kann negativ oder positiv sein. Den Matrixeintrag gif bilden jedoch genau zwei Elemente: nämlich die beiden Elemente, die die Kante gemeinsam haben.

Abbildung 3.13 zeigt das Element und das Nachbarelement , wobei für eine M-Matrix die Summe beider Elementsanteile an der Stelle einen negativen Gesamteintrag

liefern muß.

Geht man von der vektoriellen Darstellung zu Beträgen und Winkelfunktionen mit

über, so erhält man eine Aussage über die erforderlichen Winkel in den beiden Dreiecken

 

als Ergebnis. Dieses Resultat entspricht den Forderungen einer Delaunay-Triangulierung (siehe auch Abschnitt 5.1.1). Handelt es sich um ein Randelement, d.h. es gibt kein Nachbarelement an der Kante , so gilt .

Gültig ist dieses Ergebnis aber nur dann, wenn beide Elemente das gleiche Material referenzieren. Allgemeiner gilt also

was zu der Schlußfolgerung führt:

In drei Dimensionen konnte keine schlüssige Aussage über die Gesamtmatrix gemacht werden, da die Koeffizienten auch für die einfach gebauten Tetraederelemente durch die Matrixinversion von zu komplex werden. In [Let92] wird ein Beispiel angegeben, das eine gültige Delaunay-Zerlegung darstellt, aber dennoch keine M-Matrix ergibt.gif

Es ist auch zu bemerken, daß bei der Anwendung von quadratischen Formfunktionen die Matrix keine M-Matrix ist, da schon die Elementsmatrizen positive und negative Anteile enthalten und auch die Gesamtmatrix positive und negative Nebendiagonaleinträge aufweist.



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Martin Stiftinger
Fri Nov 25 16:50:24 MET 1994