Nun soll geklärt werden, unter welchen Umständen die Matrix 
eine
M-Matrix ist.
Da Dreieckselemente mit linearen Formfunktionen einfache geometrische Deutungen
zulassen, soll geklärt werden, unter welchen Umständen ein Nebendiagonaleintrag
negativ ist.
Die Variationsformulierung des Laplace-Operators in Dreieckskoordinaten 
mit den linearen Formfunktionen
ergibt die folgenden drei Matrizen
und deren geometrische Koeffizienten
Zur Vereinfachung der Darstellung sollen die auch in Abbildung 3.13 gezeigten
Dreieckskanten mit 
bezeichnet werden.
Die Terme 
und 
sind die quadrierten Dreieckskantenlängen 
und 
.
wird durch die gemischten partiellen Ableitungen gebildet und ist
als 
darstellbar.
Die drei Terme , und haben einen Gewichtungsfaktor gemeinsam, der durch die
zweifache Dreiecksfläche 
bestimmt wird. Da eine
Knotennumerierung gegen den Uhrzeigersinn vorausgesetzt wird, ist das äußere Produkt
immer positiv.
Abbildung 3.13: Delaunay-Kriterium
Aus diesen Überlegungen läßt sich ableiten, daß nur sein Vorzeichen wechseln kann.
Um eine Aussage über die assemblierte Matrix zu machen, sind zunächst die Einträge der Elementsmatrix
zu untersuchen. Bei den Diagonaleinträgen ist nur der erste Eintrag näher zu betrachten. Durch eine Umformung mit
zeigt sich, daß dieser Eintrag immer positiv sein muß. Es gilt also allgemein:
Bei den Nebendiagonaleinträgen soll der ausgesuchte Term 
untersucht werden.
Die daraus gewonnene Schlüsse können verallgemeinert werden,
da bei gleicher Elementsanordnung und zyklischer Vertauschung der lokalen
Knotennumerierung eines Elements die Gesamtmatrix die gleichen Einträge
in geänderter Reihenfolge vorweisen muß.
Der Eintrag 
mit dem Koeffizienten kann negativ oder positiv sein.
Den Matrixeintrag
bilden jedoch genau zwei Elemente: nämlich die beiden Elemente, die die Kante 
gemeinsam haben.
Abbildung 3.13 zeigt das Element 
und das Nachbarelement 
,
wobei für eine M-Matrix die Summe beider Elementsanteile an der Stelle einen
negativen Gesamteintrag
liefern muß.
Geht man von der vektoriellen Darstellung zu Beträgen und Winkelfunktionen mit
über, so erhält man eine Aussage über die erforderlichen Winkel in den beiden Dreiecken
als Ergebnis. Dieses Resultat entspricht den Forderungen einer Delaunay-Triangulierung
(siehe auch Abschnitt 5.1.1). Handelt es sich um ein Randelement, d.h. es gibt
kein Nachbarelement an der Kante , so gilt 
.
Gültig ist dieses Ergebnis aber nur dann, wenn beide Elemente das gleiche Material referenzieren. Allgemeiner gilt also
was zu der Schlußfolgerung führt:
In drei Dimensionen konnte keine schlüssige Aussage über die Gesamtmatrix gemacht werden,
da die Koeffizienten 
auch für die einfach gebauten Tetraederelemente durch die
Matrixinversion von 
zu komplex werden. In [Let92] wird ein
Beispiel angegeben, das eine gültige Delaunay-Zerlegung darstellt, aber
dennoch keine M-Matrix ergibt.
Es ist auch zu bemerken, daß bei der Anwendung von quadratischen Formfunktionen die
Matrix keine M-Matrix ist, da schon die Elementsmatrizen positive und negative
Anteile enthalten und auch die Gesamtmatrix positive und negative Nebendiagonaleinträge
aufweist.
