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2.1.1 Millersche Indizes

 

Um die kristalline Ordnung zu beschreiben, verwendet man sinnvollerweise die kleinste räumliche Einheit (Elementarzelle), aus der die gesamte Struktur des Gitters noch eindeutig ersichtlich ist. Silizium kristallisiert in der Diamantstruktur, welche zu den kubischen Kristallsystemen zählt (siehe Abbildung 2.4)[Fas87].

  figure1090
Abbildung 2.4: Diamantstruktur und deren tetraedrische Bindung im Gitter [EK95]. Die Gitterkonstante a beträgt für c-Si bei 25tex2html_wrap_inline11879C 5.4307Å. Mit tex2html_wrap_inline11907 werden die hybridisierten Elektronenorbitale bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft der Kristalle ist ihre Anisotropie. Daher muß ein System zur Verfügung stehen, das eine eindeutige Definition von Ebenen und Richtungen im Kristall gewährleistet. Das geschieht mit Hilfe der Millerschen Indizes [Fas87].

  figure1099
Abbildung 2.5: Eine Netzebene und das Koordinatensystem zur Ermittlung der Millerschen Indizes. Die Achsenabschnitte tex2html_wrap_inline11909, tex2html_wrap_inline11911 und tex2html_wrap_inline11913 werden in Einheiten der Kantenlänge der Elementarzelle a angegeben.

Man ist ganz allgemein in der Lage, durch das periodische Raumgitter im Kristall Scharen paralleler Ebenen zu legen, die in regelmäßigen Abständen von Atomen, Ionen oder Molekülen besetzt sind. Diese Netzebenen können auf mehrere Arten definiert werdengif. Daher wählt man ein Koordinatensystem, welches dem Raumgitter der vorliegenden Kristallstruktur angepaßt ist, und bei dem der Koordinatenursprung in einem Gitterpunkt einer Netzebene liegt. Nun kann jene Netzebene durch Millersche Indizes charakterisiert werden, die dem Ursprung am nächsten liegt [Fas87]. Abbildung 2.5 zeigt solch ein Koordinatensystem und eine Ebene, deren Achsenabschnitte tex2html_wrap_inline11909, tex2html_wrap_inline11911 und tex2html_wrap_inline11913 in Einheiten der Kantenlänge der Elementarzelle a angegeben werden. Die Koordinaten müssen nicht notwendigerweise orthogonal sein, da aber Silizium zu den kubischen Kristallsystemen zählt, wird ein solches verwendet.

Aus diesen Achsenabschnitten werden unter Verwendung eines Zahlenfaktors tex2html_wrap_inline11925 drei Zahlen h, k und l definiert, wobei


equation4355
ist. tex2html_wrap_inline11925 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Achsenabschnittszahlen tex2html_wrap_inline11909, tex2html_wrap_inline11911 und tex2html_wrap_inline11913. Mit Hilfe des Zahlentripels h, k und l gewinnt man nun die Millersche Indizes dieser speziellen Ebene und schreibt


equation4359
Ergibt sich z.B. der Index k als negative Zahl, so wird dieser Umstand mit einem Querbalken tex2html_wrap_inline11949 gekennzeichnet.

  figure1116
Abbildung 2.6: Millersche Indizes von einigen wichtigen Ebenen im kubischen Kristall [EK95]. Mit a wird die Kantenlaenge der Elementarzelle bezeichnet.

Natürlich eignet sich dieses System auch zur Kennzeichnung kristallographischer Richtungen. Man legt dafür den zu charakterisierenden Richtungsvektor in den Ursprung des Koordinatensystems und ermittelt die Projektionen dieses Vektors auf die Koordinatenachsen. Aus den so gewonnenen Zahlenwerten tex2html_wrap_inline11953, tex2html_wrap_inline11955 und tex2html_wrap_inline11957, die wieder in Einheiten von a gemessen werden, lassen sich die Millerschen Indizes der Richtungen


equation4363
herleiten. tex2html_wrap_inline11961 ist der größte gemeinsame Teiler von tex2html_wrap_inline11953, tex2html_wrap_inline11955 und tex2html_wrap_inline11957. Bei Richtungsangaben schreibt man


equation4367
Berechnet man z.B. den Normalvektor der Ebene (2 4 3) in einem kubischen Kristallsystem, läßt diesen im Ursprung des Koordinatensystems beginnen und auf der Ebene enden und berechnet anschließend seine Millerschen Indizes so erhält man als Richtungsbezeichnung [2 4 3].

Im kubischen System besteht ganz allgemein zwischen den Millerschen Indizes einer Richtung und jenen einer Ebene der Zusammenhang, daß der Vektor [u v w] auf die Ebene (u v w) senkrecht steht. Abbildung 2.6 zeigt einige Beispiele wichtiger kristallographischer Ebenen im kubischen Kristall.

Hat man einen ganzen Satz von äquivalenten Richtungen und Ebenen, die sich aus Achsenpermutationen ergeben, so kann man erstere mit gebrochenen Klammern <> und letztere mit geschwungenen Klammern {} kennzeichnen.


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