2.2.6 Die Relaxationszeitnäherung



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2.2.6 Die Relaxationszeitnäherung

Zwei Näherungen, die Relaxationszeitnäherung und die Linearisierung, ermöglichen eine analytische Lösung der Boltzmanngleichung.

Mit Hilfe der Relaxationszeitnäherung kann der Stoßterm in Gl. (2.74) entscheidend vereinfacht werden. Es wird angenommen, daß die Nichtgleichgewichtsverteilung als Summe der Gleichgewichtsverteilung und einer durch äußere Kräfte verursachten Störung dargestellt werden kann:

Gemäß der Vorstellung, daß die Rückkehr in den Gleichgewichtszustand aufgrund von Stoßprozessen exponentiell mit der Relaxationszeit erfolgt, ergibt sich folgender Ansatz:

 

Die Relaxationszeit ist im allgemeinen von Zeit, Ort und Kristallimpuls abhängig. Die Anwendbarkeit der Relaxationszeitnäherung ist von der Bedingung isotroper oder elastischer Streuprozesse abhängig [120]. Bei elastischer Streuung ändern die Ladungsträger durch Stöße lediglich die Bewegungsrichtung, verlieren aber keine Energie. Bei isotroper Streuung besteht zwischen den Richtungen vor und nach dem Stoß keine Beziehung (erinnerungslöschender Stoß). Gewöhnlich wird die Relaxationszeit als Funktion der kinetischen Energie dargestellt [121], [192]:

 

Der numerische Parameter nimmt für verschiedene Streumechanismen verschiedene Werte an.

Während die rechte Seite von (2.74) wegen der Relaxationszeitnäherung (2.76) nur enthält, erlaubt die Linearisierung der Boltzmanngleichung die Nichtgleichgewichtsverteilung der linken Seite von (2.74) durch die Gleichgewichtsverteilung zu ersetzen. Diese Vereinfachung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß die Gradienten der Gleichgewichtsverteilung (im Orts- und Impulsraum) sehr viel größer sind als die der Störung . Die Linearisierung der Boltzmanngleichung impliziert auch, daß die äußere Kraft als Gradient eines Skalarpotentials dargestellt werden kann. Sollen Magnetfelder berücksichtigt werden, muß auch im Feldterm der Boltzmanngleichung berücksichtigt werden [121], [153].

Setzt man Gl. (2.76) als Approximation des Stoßterms in die Boltzmanngleichung (2.74) ein, läßt sich - unter der Voraussetzung der Nichtberücksichtigung magnetischer Felder - die Lösung der Boltzmanngleichung in erster Näherung (Linearisierung) unmittelbar anschreiben:

 

Die Änderung der Gleichgewichtsverteilungsfunktion mit dem Wellenvektor ergibt sich aufgrund der k-Abhängigkeit der Bandstruktur:

 

Setzt man Gl. (2.79) in Gl. (2.78) ein, erhält man:

 

Der Klammerausdruck in Gl. (2.80) wird auch als Strömungsvektor bezeichnet [52], [198]. Seine explizite Form ergibt sich, wenn der Gradient der Gleichgewichtsverteilungsfunktion berechnet wird:

 

Die endgültige Form der Relaxationszeitlösung der Boltzmanngleichung erhält man, indem man Gl. (2.80), (2.81), (2.35) zusammenfaßt:

 

Der Strömungsvektor ist einer allgemeinen treibenden Kraft proportional. kann als Resultierende einzelner treibender Kräfte, z.B. der Gradienten des elektrostatischen Potentials, der Ladungsträgerkonzentrationen und der Temperatur, begriffen werden. hat verschiedene äquivalente Formen:

     

ist allein vom Wellenvektor abhängig. Die Gesamtenergie ist sowohl vom Ort wie vom Wellenvektor abhängig. Quasifermienergie und Temperatur sind nur ortsabhängig. Die resultierende treibende Kraft setzt sich aus verschiedenen einzelnen treibenden Kräften zusammen. Die Transformation der einzelnen treibenden Kräfte ist mit einer Transformation der Transportkoeffizienten verbunden. Gl. (2.83) folgt direkt aus Gl. (2.81). Verwendet man Gl. (2.47) statt Gl. (2.48) ergibt sich Gl.(2.84). Gl. (2.84) folgt aufgrund der Definition der Gesamtenergie des Elektrons (2.22) und der Quasifermienergie (2.45) auch unmittelbar aus Gl. (2.83). Gl. (2.85), (2.86), (2.87) ergeben sich durch Anwendung der Produktregel unter Berücksichtigung von Gl. (2.22), (2.24) und (2.45).



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Martin Stiftinger
Sat Jun 10 15:00:12 MET DST 1995