Ein kinetisches System besteht aus Teilchen in einem fest definierten Volumen
, dessen physikalischen Eigenschaften sich zeitlich ändern und untersucht
werden sollen. Diese Partikel erfahren aber Zusammenstöße und unterliegen dem
Einfluß äußerer Kräfte, wobei eine Änderung des Teilchenzustands
hervorgerufen wird. Die Energie, die aufgrund von Wechselwirkungen ausgetauscht
werden kann, sei jedoch gering. Eine weitere Forderung besteht darin, daß die
Wellenpakete der untersuchten Teilchen lokalisiert sein müssen, daß also deren
Ausdehnung kleiner als der mittlere Teilchenabstand ist. Die
de-Broglie-Wellenlänge 
muß also folgende Ungleichung
erfüllen, da sonst nur eine ausschließlich quantenmechanische Betrachtung
möglich ist. Man betrachtet also Teilchen bei hohen Temperaturen 
oder
niedriger Teilchenzahl 
. Dabei stellt 
das reduzierte Planck'sche
Wirkungsquantum, 
die Masse des Teilchens und 
die Boltzmannkonstante
dar. Damit kann allen Teilchen sowohl ein Ort als auch ein Impuls und somit eine
Geschwindigkeit hinreichend genau zugeordnet werden, und Ort und Impuls können
unabhängig voneinander betrachtet werden. Wenn diese Forderung erfüllt ist,
dann wird, kann ein System mit den klassischen Gesetzmäßigkeiten analysiert
werden. Des weiteren wird ein System untersucht, bei dem nur eine einzige
Teilchenart betrachtet werden muß, um die mathematische Ableitung möglichst
einfach beschreiben zu können.
Die makroskopischen Eigenschaften eines physikalischen Systems werden bestimmt,
indem man die Bewegung aller Teilchen verfolgt. Dies ist jedoch praktisch nicht
möglich, da dabei die Bewegungsgleichung für jedes einzelne Teilchen berechnet
werden muß und zusätzlich noch die Anfangsbedingungen für jedes einzelne
Teilchen bekannt sein müssen. Man ist daher gezwungen, statistische Methoden
zur Beschreibung des zeitlichen Verhaltens eines makroskopischen Systems zu
gebrauchen. Statt der Bewegung eines einzelnen Partikels verfolgt man nun das
zeitliche Verhalten der Verteilungsfunktion 
in
Abhängigkeit des Orts 
, der Geschwindigkeit 
und der Zeit
, die im sechsdimensionalen Volumenelement 
die mittlere Anzahl der
Teilchen
angibt. Diese mittlere Anzahl an Teilchen ist nun als Integral der
Teilchendichte über das räumliche Volumen und die Geschwindigkeit
definiert,
Eine orts- und zeitabhängige Teilchendichte 
erhält
man durch Mittelung über die Geschwindigkeit,
Man kann den Mittelwert 
einer beliebigen
physikalischen Größe 
bei Kenntnis der
Verteilungsfunktion mittels Integration über die Geschwindigkeit berechnen,
Mit derartigen Mittelwerten kann also auch ein System, das sich nicht im Gleichgewichtszustand befindet, beschrieben werden, vorausgesetzt, daß die Verteilungsfunktion bekannt ist.
Um die Verteilungsfunktion zu bestimmen, sollen vorderhand keine Kollisionen
der Teilchen berücksichtigt werden. Dann wird sich die Lage dieser
Funktion nach einem Zeitschritt 
um
ändern, wobei 
eine geschwindigkeitsunabhängige äußere Kraft
darstellt. Unter der getroffenen Annahme, daß keine Stöße stattfinden,
werden sich alle
Teilchen, die sich zur Zeit im Phasenraum innerhalb
befinden, zum Zeitpunkt 
im sechsdimensionalen Volumen 
anzutreffen sein. Dieser Sachverhalt kann mathematisch folgendermaßen
ausgedrückt werden. Das Volumenelement kann als
Funktionaldeterminante
geschrieben werden, wenn die Koordinatentransformation von
Gleichung 2.6 verwendet wird. Die Auswertung der Funktionaldeterminante
ergibt,
daß diese einschließlich der Glieder erster Ordnung in gleich eins
ist,
Nach einem Zeitschritt ist also die Verteilungsfunktion unverändert,
Treten aber noch zusätzlich Stöße auf, dann kommen nicht alle Teilchen, die
zum Zeitpunkt t im Phasenraum enthalten sind, in das zeitlich
weiterbewegte Volumen , sondern werden durch Kollisionen in andere
Phasenvolumenelemente gestreut, beziehungsweise können Teilchen durch
Streuprozesse in dem neuen, zeitlich veränderten infinitesimalen Element
enthalten
sein. Dieser Sachverhalt ist in Abbildung 2.1 dargestellt. Um diese
damit hervorgerufene Partikelschwankung zu berücksichtigen, wird ein
sogenannter Stoßterm 
definiert. Nun entwickelt man die linke Seite dieser Gleichung nach , wobei
anschließend gegen Null streben soll. Die daraus resultierende
Gleichung stellt
die Bewegungsgleichung für die Verteilungsfunktion dar, wenn der Stoßterm
explizit angegeben wird. Diese Gleichung wird als Boltzmanngleichung bezeichnet
und findet in der Transporttheorie vielfach Anwendung. Die Operatoren
und 
stellen den Gradienten in bezug auf den Ort
beziehungsweise nach der Geschwindigkeit dar.
Um auch eine semiklassische Näherung der Quantenmechanik miteinzubeziehen, wird
der klassische Impuls durch den Kristallimpuls zu ersetzt. Der Wellenvektor
des Kristallimpulses wird nun als
geschrieben. Man erhält dann die Boltzmanngleichung in Abhängigkeit des Wellenvektors,
Dies ist nun diejenige Form, die zur Charakterisierung von Nichtgleichgewichtsprozessen der Festkörperphysik herangezogen wird [17].
Der sogenannte Streuterm wird unter Berücksichtigung der quantenmechanischen,
differentiellen Streuwahrscheinlichkeit 
als
geschrieben. Die Streuwahrscheinlichkeit kann so interpretiert werden, daß ein
Teilchen mit Zustand nach 
gestreut wird. Der Streuterm
dagegen wird als Differenz zwischen eintretenden und austretenden Teilchen im
Impulsvolumenelement 
aufgefaßt. Die Annahme betreffs dieses
Streuterms beinhaltet nur Zweierstöße. Da in einem Halbleiter Kollisionen
dreier oder mehrerer Partikel
eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit aufweisen, erscheint
diese Näherung gerechtfertigt. Eine weitere Vereinfachung des Stoßterm ergibt
sich unter der Annahme, daß sich die Fermikante weder in der Nähe noch
überhalb des Leitungsbandes befindet und nur schwache Konzentrationen der
betrachteten Teilchenart vorliegen. Dies ist bei schwacher bis mittlerer
Dotierung zulässig. Damit kann auch das Pauliverbot,
das eine doppelte Besetzung eines Elektronenzustands nicht zuläßt, vernachlässigt werden, und man kann den Stoßterm linear in der Verteilungsfunktion
anschreiben. Die totale Streurate 
ist nun folgendermaßen
definiert. Das Pauliprinzip wird nur bei stark entarteten Halbleitermaterialien berücksichtigt, die fast schon metallische Eigenschaften aufweisen.
