8.4 Sensor

Als Anwendung für die Berechnung von Gegeninduktivitäten bietet sich ein Sensor8.1in Mäanderform (Abb. 8.21) an. Mit diesem Sensor können kleine Verschiebungen in x- und z-Richtung detektiert werden. Deshalb werden im Zuge der Untersuchung verschiedene Stellungen der beiden Leiter zueinander durch Verschieben der Struktur A im Sinne des Koordinatensystems (s. Abb. 8.21) ausgewertet. Details und Aufschluss über die verwendeten Materialien zeigt Abb. 8.22.

Abbildung 8.21: Schematische Darstellung der Mäander: Die Schrittweite $ p$=1.78 mm ist für beide Strukturen gleich, ebenso $ l_2$=4.0 cm. Die restlichen Längen sind $ l_1$=4.5 cm und $ l_3$=5.08 cm (s. auch Abb. 8.22).
\begin{figure}
\psfrag{l1}{\normalsize $l_1$}%[bc]
\psfrag{l2}{\normalsize $l_...
...ze $p$}
{\resizebox{0.73\textwidth}{!}{\includegraphics[{}]{Pgde}}}\end{figure}

Abbildung 8.22: Querschnitt der Strukturen: Abmessungen in $ \protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m
\begin{figure}{\resizebox{0.47\textwidth}{!}{\includegraphics[{}]{p2quer}}}\end{figure}

Die Konvergenz des Monte Carlo Verfahrens ist in Abb. 8.23 für zwei Stellungen dargestellt. Die Abbildungen, die das Konvergenzverhalten des Monte Carlo Verfahrens zeigen, beziehen sich auf z=100 $ \protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m. Die berechnete Gegeninduktivität konvergiert relativ rasch. Allerdings ist das Konvergenzverhalten von der Stellung (der beiden Strukturen zueinander) abhängig, da es bei gewissen Positionen zu Auslöschungseffekten kommt. Die Stellung in Abb. 8.24 dient als ein Beispiel dafür. Abbildung 8.4 zeigt das Konvergenzverhalten für eine Stichprobenanzahl von 7, 70 und 700 Millionen. Dabei zeigt die kleine Abbildung jeweils Details der roten Kurve, die im großen Maßstab der grünen Kennlinie gegenübergestellt wird.

Abbildung 8.23: Konvergenzverhalten der Stellung x=0.0 mm und x=$ -$2.2 mm für z=100 $ \protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m
\begin{minipage}[b]{0.61\textwidth}\centerline{\hss\resizebox{\linewidth}{!}{\includegraphics[clip]{00}}}
\vspace{5pt}\centerline{}\end{minipage}

Abbildung 8.24: Verschiebung der Struktur A um 2.2 mm gegenüber dem Ursprung
\begin{figure}{\resizebox{0.81\textwidth}{!}{\includegraphics[{}]{bbgde22fem}}}\end{figure}

Abbildung 8.25: Konvergenzverhalten für die Stellung x=2.2 mm: Stichprobenanzahl 7 , 70 und 700 Millionen
\begin{minipage}[b]{0.49\textwidth}\centerline{\hss\resizebox{\linewidth}{!}{\in...
...width}{!}{\includegraphics[clip]{22b}}}
\vspace{5pt}\centerline{}\end{minipage}

Abbildung: Konvergenzverhalten für die Stellung x=$ -$1.6 mm: Stichprobenanzahl 7 , 70 und 700 Millionen
\begin{minipage}[b]{0.49\textwidth}\centerline{\hss\resizebox{\linewidth}{!}{\in...
...idth}{!}{\includegraphics[clip]{n16b}}}
\vspace{5pt}\centerline{}\end{minipage}

Ein weiteres Beispiel gibt Abb. 8.4 wieder. In diesen Abbildungen ist durch den ähnlichen Verlauf der Kurven eine Eigenschaft des Zufallsgenerator zu erkennen: Er liefert exakt die gleiche Folge von Zufallszahlen. Der Unterschied zwischen den Kurven liegt darin, dass abhängig von der unterschiedlichen Anzahl der Stichproben unterschiedliche Punkte aufgezeichnet werden. Außerdem zeigt sich eine Schwäche des Monte Carlo Verfahrens, dass Auslöschungseffekte die notwendige Stichprobenanzahl für Konvergenz in unpraktikable Höhen treibt. Der Grund dafür liegt in der Differenz von zwei großen Zahlen. Die Berechnung der negativen Beiträge (für Position 2.2 mm) ergibt -3.299 $ \protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$H, die positiven Beiträge ergeben 3.255 $ \protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$H für die Gegeninduktivität; beide konvergieren rasch (Abb. 8.4). Durch den kleinen Wert der Differenz wird der Fehler verstärkt.

Mit den am Institut vorhandenen Ressourcen ist die Berechnung der Kennlinie Abb. 8.4, mit immerhin 164 verschiedenen Stellungen, in kurzer Zeit möglich. In etwa eine Stunde wird auf einem LINUX-Rechner mit 1800 MHz zur Berechnung der Stromdichteverteilung der beiden Strukturen benötigt. Je nach Stellung der beiden Mäander werden bis zu 130000 Gitterelemente (mit mehr als 260000 Knoten) nur für die leitenden Strukturen durch den Gittergenerator deLink erzeugt.

In Abb. 8.4 sind die Gegeninduktivitäten in Abhängigkeit von der Position dargestellt. Die Kennlinie der Gegeninduktivität ist periodisch entlang der x-Koordinatenrichtung, die Symmetrieachse der Periodizität liegt bei x=$ -$505 $ \protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m. Zwischen den Minima und Maxima ist der Verlauf annähernd linear.

Abbildung 8.29 gibt die Potenzialverteilung (die Kontakte der beiden Strukturen liegen an der gleichen Spannung), und Abb. 8.30 zeigt die Stromdichteverteilung der beiden Strukturen. Der Widerstand der Struktur A beträgt 1.82 $ \Omega$, der von Mäander B 5.56 $ \Omega$. Die Maxima der Stromdichte liegen in den Innenkanten der Knickstellen in Struktur B. Die Stromdichte in der Sn-Schicht von Struktur A ist relativ klein (vergl. Abb. 8.22), da der spezifische Widerstand von Sn erheblich größer als der von Cu ist.

Abbildung 8.27: Konvergenzverhalten der positiven und negativen Beiträge zur Gegeninduktivität für die Stellung x=2.2 mm
\begin{minipage}[b]{0.49\textwidth}\centerline{\hss\resizebox{\linewidth}{!}{\in...
...}{!}{\includegraphics[clip]{dnegativ}}}
\vspace{5pt}\centerline{}\end{minipage}

Abbildung 8.28: Gegeninduktivität in Abhängigkeit der Verschiebung von Struktur A
\begin{minipage}[b]{0.63\textwidth}\centerline{\hss\resizebox{\linewidth}{!}{\includegraphics[clip]{a3}}}
\vspace{5pt}\centerline{}\end{minipage}

Abbildung 8.29: Potenzialverteilung der Strukturen: Mäander A ist $ -$0.4 mm gegenüber dem Ursprung verschoben.
\begin{figure}{\resizebox{0.80\textwidth}{!}{\includegraphics[{}]{04pot}}}\end{figure}

Abbildung 8.30: Stromdichteverteilung der beiden Strukturen
\begin{figure}{\resizebox{0.80\textwidth}{!}{\includegraphics[{}]{04curr}}}\end{figure}


Fußnoten

... Sensor8.1
An dieser Stelle sei Prof. Dr. Predrag Habas (Device Eng.Dept., MOS4, FD0.S09, Gerstweg 2, 6534 AE Nijmegen, Holland) gedankt, dass er mir diese Struktur übermittelt hat.

C. Harlander: Numerische Berechnung von Induktivitšten in dreidimensionalen Verdrahtungsstrukturen