A. Detailrechnung der analytischen Integration über identische Tetraeder

Gegeben ist ein allgemeiner Tetraeder entsprechend Abb. A.1, gesucht ist das Integral

$$I=\int_{\cal V}\mathrm{d}{{V}}\int_{\cal V'}\mathrm{d}{{V}'} \fra... ...ox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert},$$ (A.1)

da die Integration allerdings nicht ausschließlich analytisch durchgeführt werden kann folgt nach einer zweimaligen (lokalen) Integration eine numerische Auswertung auf dem Einheitsdreieck [137].

Abbildung A.1: Allgemeiner Tetraeder im globalen Koordinatensystem (a), Einheitstetraeder im lokalen Koordinatensystem (b)

Die Anwendung der Abbildungsvorschrift eines Tetraeders beschreibt den Übergang von dem lokalen Elementkoordinatensystem $(\xi,\eta,\zeta)$ zum globalen Koordinatensystem

$$x =x_1\xi+x_2\eta+x_3\zeta,$$

$$y =y_1\xi+y_2\eta+y_3\zeta,$$ (A.2)

$$z =z_1\xi+z_2\eta+z_3\zeta$$

bzw. in Matrixschreibweise

$$\{r\}=[J]\cdot\{\delta\}$$ (A.3)

mit der Jacobi-Matrix

$$[J]=\left(\begin{array}{ccc} x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\\ z_1& z_2& z_3 \end{array}\right),$$ (A.4)

die keine Funktion der lokalen Koordinaten $(\xi,\eta,\zeta)$ ist. Die Jacobi-Determinante

$$J=\begin{vmatrix}\begin{array}{ccc} \partial_\xi{x}& \partial_\et... ...box{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}_3\\ \end{array}\end{bmatrix} =6\textrm{V}$$ (A.5)

ergibt das sechsfache Volumen des Tetraeders, da die Ortsvektoren $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r... ...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}_3$ ein Prisma (Spat) aufspannen; diese Ortsvektoren werden im lokalen Koordinatensystem (Abb. A.1b) auf die Vektoren $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle v$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle v... ...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle v$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle v$}}_3$ abgebildet:

$$\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath$\... ...criptscriptstyle v$}}_3= \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\,.$$

Exkurs: Transformation auf ein lokales Koordinatensystem

$$\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\boldm... ...$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert^2=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2$$

$$=\underbrace{(x_1^2+y_1^2+z_1^2)}_{r_1^2}(\xi-\xi')^2 +\underbrac... ...{r_2^2}(\eta-\eta')^2 +\underbrace{(x_3^2+y_3^2+z_3^2)}_{r_3^2}(\zeta-\zeta')^2$$

$$+2(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)(\xi-\xi')(\eta-\eta') +2(x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3)(\xi-\xi')(\zeta-\zeta')$$

$$+2(x_2x_3+y_2y_3+z_2z_3)(\eta-\eta')(\zeta-\zeta')$$

$$=r_3^2\big[(\zeta-\zeta')^2+2\frac{\mathchoice{\mbox{\boldmath$\d... ...iptscriptstyle r_3$}}}{r_3^2} (\eta-\eta')(\zeta-\zeta')\big]+r_1^2(\xi-\xi')^2$$

$$+r_2^2(\eta-\eta')^2+2\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r... ...ptstyle r_2$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r_2$}}(\xi-\xi')(\eta-\eta')$$

$$=r_3^2\big[(\zeta-\zeta')+\frac{\mathchoice{\mbox{\boldmath$\disp... ...oldmath$\scriptscriptstyle r_3$}}}{r_3^2}(\eta-\eta')\big]^2+ \frac{1}{r_3^2}F,$$

wobei als Abkürzung gesetzt wird

$$F =\big[r_1^2r_3^2-(\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r_1$}... ...ptstyle r_3$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r_3$}})^2\big](\eta-\eta')^2$$

$$+2\big[r_3^2(\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r_1$}} {\m... ... r_3$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r_3$}})\big](\xi-\xi')(\eta-\eta').$$

Dieser Ausdruck läßt sich umformen in

$$F =\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bold... ...ptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}_3)(\xi-\xi')(\eta-\eta'),$$

sodass sich mit

$$\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle a$}} {\mbox{\boldmath$\... ...}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle a$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle a$}}: =(\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath... ...iptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}_3)(\xi-\xi')\mathrm{und}$$

$$\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle b$}} {\mbox{\boldmath$\... ...}} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle b$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle b$}}: =(\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath... ...dmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}_3)(\eta-\eta')$$

zeigen läßt

$$F =a^2+b^2+2\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle a$}} {\mbox{\... ...{\boldmath$\scriptstyle b$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle b$}})^2\geq 0.$$

Dies erleichtert die folgende Integration, da nun ($F\geq 0$) keine weiteren Fallunterscheidungen in Betracht gezogen werden müssen.

In weiterer Folge wird das Integral

$$I=\int_{\cal V}\mathrm{d}{{V}}\int_{\cal V'}\mathrm{d}{{V}'} \fra... ...box{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}$$ (A.6)

im lokalen Koordinatensystem in der jeweils dritten Koordinate ( $\zeta,\zeta'$) analytisch durchgeführt. Dieses Zwischenergebnis wird dann mittels zweier Formeln von Stroud für die Integration über das Einheitsdreieck numerisch ausgewertet, in der Art wie in Kapitel 5.3 bereits beschrieben. Dabei wird die Stromdichte im Element mit den quadratischen Formfunktionen interpoliert. Aus dem Exkurs folgt für das Integral über den Einheitstetraeder

$$I =\frac{J^2}{r_3}\int_{\cal V}\mathrm{d}{{V}}\int_{\cal V'}\mathrm... ..._3$}}}{r_3^2} (\eta-\eta')}_{G}\big]^2+\frac{1}{r_3^4}F(\xi,\eta,\xi',\eta')}}.$$

Im Zuge der analytischen Berechnung werden noch folgende Abkürzungen verwendet:

$$f =\frac{1}{r_3^4}F(\xi,\eta,\xi',\eta')$$

$$\lambda =1-\xi-\eta$$

$$\lambda' =1-\xi'-\eta'.$$

Damit erhält man

$$I =\frac{J^2}{r_3}\Big[(\zeta'-\zeta-G)\ln\big\vert\zeta-\zeta'+G+\... ...rt +\sqrt{(\zeta'-\zeta-G)^2+f}\Big]\Big\vert _0^{\lambda'}\Big\vert _0^\lambda$$

$$=\frac{J^2}{r_3}\Big[(\lambda'-\lambda-G)\ln\big\vert\lambda-\lambda'+G +\sqrt{(\lambda'-\lambda-G)^2+f}\big\vert+\sqrt{(\lambda'-\lambda-G)^2+f}$$

$$+(\lambda+G)\ln\big\vert\lambda+G+\sqrt{(\lambda+G)^2+f}\big\vert -\sqrt{(\lambda+G)^2+f}$$

$$+(G-\lambda')\ln\big\vert G-\lambda' +\sqrt{(\lambda'-G)^2+f}\big\vert-\sqrt{(\lambda'-G)^2+f}$$

$$-G\ln\big\vert G+\sqrt{G^2+f}\big\vert+\sqrt{G^2+f}\Big].$$

Werden die Abkürzungen rückgängig gemacht, so läßt sich das Ergebnis der analytischen Integrationen über $\zeta$ und $\zeta'$ folgendermaßen schreiben: