Die im Rahmen dieser Arbeit behandelten linearen Gleichungssysteme entstehen durch Diskretrisierung der linearisierten Halbleitergleichungen. Da zur Lösung des nichtlinearen, simultanen Gleichungssystems stets eine entkoppelte Iteration durchgeführt wird, brauchen nur die Einzelgleichungen diskretisiert werden. Verschiedene Quantitäten in den Halbleitergleichungen sind stark von den unabhängigen Variablen abhängig. Von diesen Abhängigkeiten werden bei der Linearisierung berücksichtigt:
(siehe auch Gleichung (3.104))
vom elektrostatischen Potential 
in der Poissongleichung
nach Auger (
)
Die stationäre indirekte Rekombinationsrate
nach Shockley, Read und Hall
(
,
,
) von den
Ladungsträgerkonzentrationen 
und 
.
,
in den Ladungsträgertemperaturen
(siehe Gleichung (5.12))
und in den
Stoßionisationsraten 
bleiben unberücksichtigt.
wobei 
der Iterationszähler ist.
Die örtliche Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen
erfolgt unter Benützung
der exponentiellen Interpolationsformeln
(2.31)-(2.32) nach Scharfetter-Gummel,
wobei über finite Volumina integriert wird. Eine detaillierte
Beschreibung dieses Verfahren unter Berücksichtigung
nichtplanarer Grenzflächen findet man z.B. in [111].
Besondere Aufmerksamkeit erfordert die Diskretisierung
der Kontinuitätsgleichungen für den verallgemeinerten
Drift-Diffusionsansatz der Stromdichten 
:
Die treibenden Kräfte 
sind durch die Gleichungen
gegeben. Die Ladungsträgertemperaturen , die sich mit
den sogenannten elektronischen Spannungen 
durch
die Gleichung
( ist die Boltzmannkonstante)
verbinden lassen, können entweder aus einer Reihenentwicklung
der Energie-Erhaltungsgleichung
[42]
oder direkt aus Monte-Carlo-Simulationen gewonnen werden [56].
Effekte der Geschwindigkeitssättigung
(Sättigungsgeschwindigkeit 
)
werden in der Formel
berücksichtigt. Der phänomenologische
Koeffizient 
hat Defaultwerte
von 
=
für die Elektronen und
=
für die Löcher, die jedoch
den Bedürfnissen eines individuellen Beweglichkeitsmodells
angepaßt werden können.
Zur Diskretisierung der beiden Kontinuitätsgleichungen
sind Mittenwertapproximationen für (5.7)
und (5.8) abzuleiten.
Unter der Annahme
einer linearen Variation von
und wird
zwischen benachbarten Gitterpunkten [
, 
]
eine lokale Kontinuitätsgleichung analytisch
gelöst. Man erhält daraus die Interpolationsformel
worin 
die Dimension
einer Diffusionskonstante besitzt.
Die Mittenapproximation der Ladungsträgerbeweglichkeiten,
, entsteht durch lineare Interpolation.
Mit der Formel
und der Bernoullifunktion 
erhält man für den eindimensionalen diskreten Divergenzoperator die Differenzengleichungen
Im dreidimensionalen Fall erhält man sinngemäß eine
Koeffizientenmatrix mit sieben von Null verschiedenen Diagonalen.
Aufgrund des Tensor-Produkt-Gitters ist die Matrix zwei-zyklisch
(,,Eigenschaft A`` [114]).
Die Diagonaldominanz ergibt sich aus der
Tatsache, daß der Betrag des Hauptdiagonalelementes
gleich (oder bei positiven Beiträgen von Ableitungen
von 
zur Hauptdiagonale größer)
der Spaltensumme der Nicht-Hauptdiagonalelemente ist.
Insbesondere ist die Koeffizientenmatrix werteunsymmetrisch.
Im Fall räumlich konstanter
Ladungsträgertemperaturen 
=
=
existieren
Matrizen 
,
mit denen die Koeffizientenmatrizen 
der
diskreten Kontinuitätsgleichungen durch
die Ähnlichkeitstransformation
in symmetrisch positiv-definite Form gebracht werden können.
Die positiv-definiten Diagonalmatrizen
bestehen für Elektronen aus den Elementen
und für Löcher aus den Elementen
Diese Transformation ist das diskrete Pendant zur
Variablentransformation nach Slotboom [94].
Da durch eine Ähnlichkeitstransformation das Spektrum
einer Matrix nicht verändert wird, haben die
Koeffizientenmatrizen der diskreten Kontinuitätsgleichungen
(im klassischen Drift-Diffusionsmodell)
eine reelles, positives Spektrum. Für das
verallgemeinerte Drift-Diffusionsmodell kann eine solche
Beobachtung nicht gemacht werden.
Der benötigte Zahlenbereich der Elemente
der Transformationsmatrizen ist sehr
groß. Für ein elektrostatisches Potential von 
und eine Temperatur von 
ist die Größe der
benötigten Exponenten 
.
Mit vierfacher Zahlengenauigkeit ist dieser Bereich zu bewältigen.
Jedoch ist eine solche Zahlendarstellung in
FORTRAN nicht standardisiert, und nur wenige
Arithmetik-Prozessoren besitzen
die für solche Operationen
unbedingt benötigte Fließkomma-Hardware (FPU).
Die diskreten Halbleitergleichungen können deswegen in
einem praktischen, auf universeller Hardware einsetzbaren
Simulationsprogramm nicht
gemäß (5.19) symmetrisiert werden.
