Unterabschnitte

• Randbedingungen
• Anfangsbedingungen

2.3 Elektro-quasistatische Analyse

Bei den obigen Berechnungen von Kapazität und Widerstand wurde immer vom stationären Fall ausgegangen. Für zeitlich veränderliche Signale ist die Spannung entlang einer Leitung nicht mehr konstant und kann deshalb nicht mehr durch eine diskrete Kapazität und einen Widerstand modelliert werden. Man kann nun versuchen die Leitung in kurze Teilstücke zu gliedern und jedes dieser Stücke durch ein RC-Glied zu modellieren. Ein genaueres Ergebnis für allgemeine Strukturen erzielt man jedoch, wenn man Widerstand und Kapazität als verteilte Größen betrachtet und direkt eine dreidimensionale transiente Feldberechnung durchführt.

Wie in der Einleitung erwähnt, sind induktive Effekte für einen Großteil der Verbindungsleitungen auf integrierten Schaltungen vernachlässigbar, deshalb soll in diesem Modell das magnetische Feld unberücksichtigt bleiben. Man nimmt daher das elektrische Feld nach wie vor als ein reines Gradientenfeld gemäß (2.10) an. In (2.3) eingesetzt ergibt das

$$\mathop\mathrm{div}(\makebox{\boldmath$\underline\varepsilon$}\mathop\mathrm{grad}\varphi)=-\rho\;.$$ (2.36)

Wendet man auf (2.1) den Divergenzoperator an, erhält man

$$\mathop\mathrm{div}\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}}... ...v}\gamma\mathop\mathrm{grad}\varphi + \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} = 0\;.$$ (2.37)

Gleichung 2.36 nach der Zeit abgeleitet und in (2.37) eingesetzt, ergibt somit die Differentialgleichung für das transiente Verhalten des elektrischen Potenzials:

$$\mathop\mathrm{div}(\gamma\mathop\mathrm{grad}\varphi + \makebox{... ...ine\varepsilon$}\mathop\mathrm{grad}\frac{\partial{\varphi}}{\partial{t}})=0\;.$$ (2.38)

Der Simulationsbereich $\Omega$ erstreckt sich sowohl über die Leiter als auch über das Dielektrikum und geht theoretisch bis ins Unendliche. Praktisch braucht man jedoch wie bei der Kapazitätsberechnung die Gleichung lediglich in der näheren Umgebung der Leitung(en) lösen.

Randbedingungen

Die Kontakte an den Leitungen, an denen eine konstante Spannung vorgegeben werden soll, können wie im stationären Fall durch einen Dirichlet-Bedingung modelliert werden (2.17).

Wird hingegen von außen eine flächenhafte Stromdichte eingeprägt, so kann das einen Strom ins Innere und/oder eine Änderung der Flächenladungsdichte am Rand zur Folge haben. Für eine Randfläche gilt deshalb

$$J_{\mathrm{n}}-\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J_{\math... ...\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}=\frac{\partial{\sigma}}{\partial{t}}\;,$$ (2.39)

wobei $J_{\mathrm{n}}$ die von außen eingeprägte Stromdichte normal auf die Oberfläche, $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle J_{\mathrm{i}}$}} {\mbox{\boldmath ... ...} {\mbox{\boldmath $\scriptstyle n$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle n$}}$ die Normalkomponente der Stromdichte im Inneren und $\sigma$ die Flächenladungsdichte auf der Oberfläche ist. Auf Randflächen ohne von außen eingeprägten Strom muss demnach

$$\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J_{\mathrm{i}}$}} {\mbo... ... {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}=-\frac{\partial{\sigma}}{\partial{t}}$$ (2.40)

gelten. Diese beiden Forderungen können durch Neumann-Bedingungen verwirklicht werden.

Anfangsbedingungen

Um eine eindeutige Lösung der partiellen Differentialgleichung (2.38) zu erhalten, muss zusätzlich zu den Randbedingungen eine Anfangsbedingung für das Potenzial festgelegt werden. Demnach entspricht das Potenzial Zeitpunkt $t=0$ einer vorgegebenen Verteilung $\varphi_0$

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...{\mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})\;.$$ (2.41)

Üblicherweise werden elektrisch isolierende Gebiete $\Omega_{\mathrm{I}}$ frei von Raumladungen angenommen. Diese Tatsache muss natürlich auch in der Anfangsbedingung berücksichtigt werden. Das Potenzial darf deshalb lediglich in elektrisch leitenden Bereichen $\Omega_{\mathrm{L}}$ frei gewählt werden

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...{\mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})\;.$$ (2.42)

Für das Potenzial $\varphi_0$ innerhalb der Isolatoren $\Omega_{\mathrm{I}}$ gilt (2.16) mit dem Potenzialverlauf am Rand von $\Omega_{\mathrm{L}}$ als Dirichlet-Bedingung.