Ein hydrodynamisches Beweglichkeitsmodell für GaInAs

 Aufgrund der Mehrtalbandstruktur der Verbindungshalbleiter und der resultierenden Repopulation im Hochfeldbereich beobachtet man eine völlig andere Abhängigkeit $\mu_{\mathrm{}}^{}(w_{\mathrm{}}^{})$ als (6.74) wiedergibt. Auch die Beschreibung der Ladungsträgerenergie ändert sich. Die gesamte mittlere Energie pro Ladungsträger ist allgemein

$$w_{\mathrm{}}^{} = \frac{{\left\langle {E(\vec{k})}\right\rangle}}{n}\,.$$ (6.75)

In einem Eintalsystem ist die Aufteilung in Driftenergie $w_{\mathrm{d}}^{}$ (kinetische Energie im engeren Sinn) und thermische Energie $w_{\mathrm{th}}^{}$ naheliegend,

$$w_{\mathrm{}}^{} = w_{\mathrm{kin}}^{} = w_{\mathrm{d}}^{} ... ...}}\,v_{\mathrm{d}}^2}{2} + \frac{3\,k_{\mathrm{B}}\,T_n}{2}\,.$$ (6.76)

Die in (6.76) definierte Ladungsträgertemperatur T_n  ist dabei keine absolute Temperatur des Elektronengases im thermodynamischen Sinn. Mit Ausnahme tiefer Gittertemperaturen ist der Driftterm vernachlässigbar, also $w_{\mathrm{}}^{}\approx \frac{3}{2}\,k_{\mathrm{B}}\,T_n$. Es sei auch darauf hingewiesen, daß nur für parabolische Täler der Zusammenhang $w_{\mathrm{}}^{}=\frac{1}{2}\,{m_{}^{}}\,{\left\langle {v_{\mathrm{}}(\vec{k})^2}\right\rangle}$ gilt. In einem Mehrtalsystem kommt zur kinetischen noch die potentielle Energie der Ladungsträger in den höheren Minima hinzu, sodaß

$$w_{\mathrm{}}^{} = w_{\mathrm{kin}}^{} + w_{\mathrm{pot}}^{... ...hrm{kin}}^{i} + w_{\mathrm{pot}}^{i})} {\sum\limits_i n_i}\,.$$ (6.77)

Die potentielle Energie ist die Differenz des jeweiligen Talminimums zum absoluten Bandminimum, $w_{\mathrm{pot}}^{i}=\Delta E_{\mathrm{}}^{i}$, n_i bezeichnet die relative Besetzung (Population) des Tales i. In Abbildung 6.27 sind die verschiedenen Beiträge der Drift-, thermischen und potentiellen Energie zur Gesamtenergie am Beispiel von Ga_0.47In_0.53As illustriert. Neben der Tatsache, daß zumindest bei Raumtemperatur der Driftterm vernachlässigbar ist, beobachtet man die mit zunehmendem Feld dominanter werdende Rolle von $w_{\mathrm{pot}}^{}$ aufgrund der Besetzung der höheren Minima. Die Gesamtenergie $w_{\mathrm{}}^{}$ wird mittels der Definition $w_{\mathrm{}}^{}=\frac{3}{2}\,k_{\mathrm{B}}\,T_n$ auch in den HD Transportgleichungen synonym mit der Ladungsträgertemperatur verwendet.

  

Abbildung 6.27: Beiträge zur mittleren Elektronenenergie in Ga_0.47In_0.53As als Funktion des elektrischen Feldes

Eine weitere wichtige Größe ist die Energierelaxationszeit . Während diese im Modell (6.74) eine konstante, also von den Momenten unabhängige Größe ist, scheint diese Annahme zumindest bei Verbindungshalbleitern fragwürdig. Durch die Beziehung (6.73) kann man $\tau_{w}$ mit MC Simulationen direkt auswerten. Am Beispiel von GaAs sind in Abbildung 6.28 sowohl die Relaxationszeiten für die individuellen Minima wie auch der Gesamtwert von $\tau_{w}$ als Funktion der elektrischen Feldstärke dargestellt. $\tau_{w}$ erhöht sich vom üblicherweise benutzten Wert von 0.5 ps bis um den Faktor 4 bei mittleren Feldern.

  

Abbildung 6.28: Energierelaxationszeit in GaAs als Funktion des elektrischen Feldes

Um die Mehrtalbandstruktur einzubeziehen, kann man ein Modell konzipieren, das eine Beschreibung der Einzelbeweglichkeit der Täler, $\mu_{\mathrm{}}^{i}$, und deren Kombination über die Besetzung jeweils als Funktion von $w_{\mathrm{}}^{}$ beinhaltet [109]. In Anlehnung an (6.74) wird die Beweglichkeit im Tal i angesetzt als

$$\mu_{\mathrm{}}^{i}(w_{\mathrm{}}^{}) =\frac{\mu_{\mathrm{0... ...athrm{}}^{}-w_{\mathrm{0}}^{i}}{\delta_i}\right)^{\beta_i}}\,.$$ (6.78)

Darin ist $\mu_{\mathrm{0}}^{i}$ die Nullfeldbeweglichkeit und $w_{\mathrm{0}}^{i}$ die Gleichgewichtsenergie im Minimum i. Die anderen Modellparameter haben zum Teil physikalische Bedeutung, sind aber besonders bei den höheren Minima auch Anpassungsparameter. So beschreibt der Exponent $\gamma_i$ die Energieabhängigkeit der Beweglichkeit im Bereich der warmen Elektronen bevor Zwischentaltransfer auftritt. Für die PO dominierten III-V HL ist daher $\gamma\approx -0.5$. Der Parameter $\delta_i$ ist die Energie bei der Zwischentaltransfer einsetzt, also ungefähr die Energiedifferenz der Minima. Im anschließenden Bereich der starken Zwischentalstreuung fällt $\mu_{\mathrm{0}}^{i}$ steil mit dem Exponenten $\beta_i$ ab (vgl. Abbildung 6.29). Die Gesamtbeweglichkeit ist die mit der Besetzung gewichtete Summe der Einzelbeweglichkeiten,

$$\mu_{\mathrm{}}^{}(w_{\mathrm{}}^{}) = \frac{\sum\limits_i ... ...u_{\mathrm{}}^{i}(w_{\mathrm{}}^{})}{\sum\limits_i n_i(w)} \,.$$ (6.79)

Zur Abschätzung der Population der Täler kann man eine modifizierte Maxwell-
Boltzmann  Verteilung ansetzten. Dies führt auf die Besetzung der höheren Minima relativ zu $\varGamma$ in der Form

$$\frac{n_i}{n_\varGamma}(w_{\mathrm{}}^{}) = R_{i\varGamma} ... ...!\left(-a\,\frac{\Delta E_{\mathrm{}}^{i\varGamma}}{w}\right),$$ (6.80)

Der Vorfaktor a in der Exponentialfunktion stellt die unterschiedliche Energieskalierung dar, da anstelle der kinetischen Energie, repräsentiert durch die Elektronentemperatur, ebenfalls die Gesamtenergie $w_{\mathrm{}}^{}$ als bestimmende Größe in f herangezogen wird. Da $w_{\mathrm{pot}}^{}$ und damit auch $w_{\mathrm{kin}}^{}$ für $F\gt 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{cm}$ ungefähr proportional zu $w_{\mathrm{}}^{}$ sind (vgl. Abbildung 6.27), kann a näherungsweise konstant angenommen werden. $R_{i\varGamma}$ ist der Entartungsfaktor des Minimums i bezogen auf $\varGamma$ (siehe (6.59)). Die Beweglichkeit $\mu_{\mathrm{0}}^{\varGamma}$ wurde schon in Abschnitt 6.1.5 behandelt. Die restlichen Modellparameter, die aus MC Simulationsergebnissen durch nichtlineare Regression gewonnen wurden, sind in Tabelle 6.2 angeführt.

   

Tabelle 6.2: Parameter des HD Beweglichkeitsmodells für Ga_xIn_1-xAs

$\mu_{\mathrm{0}}^{L}$	[$\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{Vs}$]	$234.8 - 304.4\,x + 429.7\,x^2$
$\mu_{\mathrm{0}}^{X}$	[$\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{Vs}$]	$27.2 - 91.8\,x + 204.3\,x^2$
$\delta_{\varGamma}$	[meV]	$734.1 - 770.9\,x + 320.5\,x^2$
$\delta_{L}$	[meV]	$1108.5 - 1403.5\,x + 748.7\,x^2$
$\delta_{X}$	[meV]	$1604.2 - 2528.9\,x + 1475.8\,x^2$
$\beta_{\varGamma}$		$5.82 - 2.85\,x + 2.13\,x^2$
$\beta_{L}$		$7.0 - 5.2 \,x + 0.2 \,x^2$
$\beta_{X}$		$5.0 + 1.47\,x - 4.63\,x^2$
$\gamma_{\varGamma}$		$-0.23 - 0.98\,x + 0.83\,x^2$
$\gamma_{L}$		0
$\gamma_{X}$		0
a		4.0

In Abbildung 6.29 sind die MC Daten und die vom beschriebenen Modell gelieferten Werte für die Einzel- und Gesamtbeweglichkeit in Ga_0.47In_0.53As dargestellt. Auffällig ist, daß die Nullfeldbeweglichkeit der L und X Täler bei niedrigen Energien nicht gut definiert sind, was darauf zurückzuführen ist, daß diese Minima bei schwachen Feldern kaum besetzt sind, $\mu_{\mathrm{0}}^{L}$ und $\mu_{\mathrm{0}}^{X}$ sind eigentlich künstliche Größen. Abbildung 6.30 zeigt einen Vergleich der Gesamtbeweglichkeit des HD Modells in Ga_xIn_1-xAs für verschiedene Legierungskonzentrationen. Auch hier ist die Übereinstimmung zwischen dem Modell und den MC Werten sehr gut.

  

Abbildung 6.29: Elektronenbeweglichkeit in Ga_0.47In_0.53As als Funktion der mittleren Elektronenenergie für die Einzelminima und gesamt. Die Symbole sind MC Daten, die durchgezogenen Linien Ergebnisse des analytischen Modells (6.78)-(6.80).

  

Abbildung 6.30: Elektronenbeweglichkeit in Ga_xIn_1-xAs als Funktion der mittleren Elektronenenergie für verschiedene Legierungskonzentrationen. Die Symbole sind MC Daten, die durchgezogenen Linien Ergebnisse des analytischen Modells (6.78)-(6.80).