Die stationäre Schrödingergleichung für ein Elektron, das sich im Bereich der Barriere an der Grenzfläche befindet, lautet
wobei das Potential von Abbildung 4.1(a) folgende mathematische Form aufweist,
Das Potential soll nur auf die Normalkomponente des Impulses wirken. Mit
wird den verschiedenen Minima der Leitfähigkeitsbänder am
Übergang vom Oxid zum Gate-Material Rechnung
getragen. Da im Bereich des Substrats und in der Gate-Elektrode ein konstantes
Potential angenommen wird, kann die Wellenfunktion als ebene Welle angenommen
werden. Dabei gilt im Kanalbereich in x-Richtung
wohingegen für den Bereich der Gate-Elektrode die Wellenfunktion folgendes Aussehen hat,
Dabei wird eine parabolische Energie-Impulsrelation vorausgesetzt.
Die unterschiedlichen effektiven Massen werden in Silizium mit 
und für
den Gate-Bereich mit 
geschrieben. Die Konstanten 
, 
und 
werden aufgrund der Stetigkeit der Wellenfunktion und deren Ableitung
bestimmt. Im Gegensatz zu Silizium wird in der Gate-Elektrode nur die
transmittierte Welle berücksichtigt.
Im Oxid wird die dreidimensionale Wellenfunktion 
folgendermaßen separiert,
Einsetzen dieser Funktion ergibt nun die Differentialgleichung
für die gesuchte, eindimensionale Wellenfunktion 
,
Der Term in den eckigen Klammern auf der rechten Seite kann nun als die
Normalkomponente der Energie 
in bezug auf die Grenzschicht
aufgefaßt werden.
Wenn die Relation 
gilt, dann kann man
die folgende Transformation definieren,
Wählt man nun für die Funktion einen geeigneten Ansatz,
erhält man als Ergebnis die Besselsche Differentialgleichung der Ordnung
,
Die Lösung der obigen Gleichung sind die Besselfunktionen der Ordnung ,
die in der Literatur auch vielfach Airy-Funktionen genannt werden.
Die gesamte Lösungsfunktion in x-Richtung kann dann mit den beiden
Normierungskonstanten
und 
als
geschrieben werden. Falls nun die Normalenergie kleiner als die
Potentialbarriere ist, 
, dann führt man statt der
Definition in Gleichung 4.12 für den Bereich 
ein. Analog zur obigen Ableitung erhält man als Lösungsfunktion die
modifizierten Besselfunktionen der Ordnung ,
Am Schnittpunkt der Normalenergie mit dem abfallenden Potential im Oxid
erfordert die Kontinuität der Wellenfunktion die folgenden
Übergangsbedingungen für die Amplituden und der regulären
Besselfunktionen der Ordnung
und somit für den Bereich 
wobei das Argument 
der obigen Funktion gemäß Gleichung 4.12
gegeben ist.
Die Amplituden 
, 
und werden nun aufgrund der Stetigkeit
der Wellenfunktion und deren Ableitung bestimmt. Man erhält also das folgende
Gleichungssystem zur Berechnung der der fünf Normierungskonstanten,
Damit sind vier Normierungskonstanten festgelegt und können durch eine einzige
ausgedrückt werden. Die Wahrscheinlichkeitsflußdichte 
wird nun mithilfe
der komplex konjugierten Wellenfunktion gebildet,
Die Transmissionswahrscheinlichkeit berechnet sich nun als Quotient aus der transmittierten und der einfallenden Wahrscheinlichkeitsflußdichte
wobei zur besseren Unterscheidung die Indizes 
für die einfallende
und 
für die transmittierte Flußdichte verwendet werden.
Für den Fall, daß man die Injektion von Elektronen in Siliziumdioxid nach
Abbildung 4.1(b) berechnen will, muß die Wellenfunktion im Oxid bis
zum Schnittpunkt der potentiellen Energie mit der Normalkomponente der Energie
an der Stelle 
entweder nach Gleichung 4.15 oder
Gleichung 4.17 berechnet werden, abhängig davon, ob die Energie
größer oder kleiner als die Potentialbarriere am Übergang von Silizium zu
Siliziumdioxid ist. Die Wellenfunktion für den dritten Bereich wird nun mit den
Parametern des Oxids angeschrieben,
Die Übergangsbedingungen müssen nun ebenfalls im Oxid an der Stelle
anstatt
berechnet werden. Ist die Energie größer als die Barriere, dann wird
gleich Null gesetzt. Die Transmissionswahrscheinlichkeit ist dann analog
zu Gleichung 4.25 zu bestimmen,
