6.4 Einfluss von Singularitäten

Der Integrand in (6.3) ist singulär für $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle r...
...
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'$. Zur Studie des Einflusses der Singularität wird das Bereichsintegral in zwei Bereichsintegrale, $ I_1$ und $ I_2$, aufgespalten

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{{\cal V}} \mathrm{d}V\int_{{\cal V}}\mathrm{d}V' \frac{\ma...
...th$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}=I_1+I_2\,.$ (6.3)

Das erste Integral schließt die Singularität aus

$\displaystyle I_1$ $\displaystyle =\int\int_{\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\...
...box{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}$ (6.4)

und wird wie bisher ausgewertet. Als Bereich für das zweite Integral wird eine kleine Kugel um die Singularität gewählt

$\displaystyle I_2$ $\displaystyle =\int\int_{\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\...
...{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}\,.$ (6.5)

Da der Abstand $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle r...
...
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'$ klein ist, kann die Stromdichte $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle J$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle J...
...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}')$ um $ \mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\textstyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}}
{\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}$ linear entwickelt werden

$\displaystyle \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath$\...
...} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}')$ $\displaystyle \approx \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} {\mbox{\bo...
...\mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}')\,.$ (6.6)

Eingesetzt in $ I_2$ ergibt sich

$\displaystyle I_2=\int_{\cal V}\mathrm{d}V \,\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displ...
...$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}}^{I_{22}}\,,$ (6.7)

$\displaystyle I_{21}=\int_{\,\,\quad\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displayst...
...ptstyle r$}}'\vert} =\int_0^\delta\frac{4\pi R^2}{R}\mathrm{d}R=2\pi\delta^2\,.$ (6.8)

Das Integral $ I_{22}$ verschwindet aus Symmetriegründen

$\displaystyle I_{22}$ $\displaystyle =\int_{0}^\delta\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}R^2\sin\vartheta \ma...
...n\varphi\\ R\cos\vartheta \end{array}\right)=0\,.%\notag%\,.\\ [+2mm]%\vect{0}
$ (6.9)

Durch die Darstellung

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int\int_{\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\...
...h$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}) \cdot2\pi\delta^2$ (6.10)

wird eine Sensitivitätsanalyse möglich, die den Einfluss des Parameters $ \delta$ klärt. Die Auswertung obiger Formulierung hat ergeben, dass mit zunehmender Verkleinerung von $ \delta$ der Beitrag des zweiten Terms verschwindet6.2. Damit ist gezeigt, dass bei der Monte Carlo Methode kein Einfluss der Singularität auftritt, da für den Grenzübergang $ \delta
\rightarrow 0$ obige Formulierung in die ursprüngliche übergeht.



Fußnoten

... verschwindet6.2
Typische Größenordnung von $ \delta$=2 nm für die räumliche Leiterschleife (s. Abschnitt 8.2), ab der kein Beitrag mehr zum zweiten Term geliefert wird, d.h. für $ \vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}}
{\mbox{\boldmath$\textstyl...
...box{\boldmath$\scriptstyle r$}}
{\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert<$ 2 nm kann das zweite Integral vernachlässigt werden. $ \delta$ ist allerdings kein konstanter Faktor, sondern hängt von den Größe des jeweiligen Beispiels ab. Als Richtwert kann für die räumliche Leiterschleife angegeben werden, dass $ \delta$ 2 % der kürzesten Kantenlänge eines typischen Tetraederelements beträgt.

C. Harlander: Numerische Berechnung von Induktivitšten in dreidimensionalen Verdrahtungsstrukturen