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Für quaternäre HL wird üblicherweise ein Produktpolynom angesetzt
![\begin{displaymath}
{\cal Q}_{\mathrm{}}(x,y) = \sum\limits_{ij} k_{ij}\,x^i\,y^j\,,
\end{displaymath}](img148.gif) |
(4.2) |
das für beliebige (lineare) Schnitte einfaches (parabolisches) Verhalten hat und im Grenzfall in die ternären HL übergeht.
Beim Typ I (Abschnitt 3.4.2) entspricht das einer 6-Punkt Formel,
.Für den Typ II bedeutet das einen 9-Punkt Ansatz mit einem freien Parameter,
,
.Aber es ist auch eine Interpolation für
denkbar, die stetig in beliebige Randverläufe
übergeht,
![\begin{displaymath}
{\cal Q}_{\mathrm{}}(x,y) = \frac{\sum\limits_{i}k_i(x,y)\,{\cal T}_{\mathrm{i}}(x,y)}{n(x,y)}\,.
\end{displaymath}](img154.gif) |
(4.3) |
ki(x,y) und n(x,y) sind Gewichtungs- beziehungsweise Normierungsfunktionen.
Nach Adachi [2] gilt für Typ II Verbindungen AxB1-xCyD1-y bestehend aus AC, BC, AD und BD:
![\begin{eqnarray}
{\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}(x,y) & = & \frac{x\,(1-x) \left(y\,{\...
...(y) +
(1-x)\,{\cal T}_{\mathrm{BCD}}(y)\right)}{+ y\,(1-y)}\,.
\end{eqnarray}](img155.gif) |
(4.4) |
Dabei ist der Durchschnittswert der ternären Mittenwerte für den Mittelpunkt angenommen,
![\begin{displaymath}{\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}({\textstyle {1\over 2}},{\textstyle ...
... 2}})+{\cal T}_{\mathrm{BCD}}({\textstyle {1\over 2}})\right).
\end{displaymath}](img156.gif) |
(4.5) |
Für Typ I Verbindungen (AxByC1-x-yD) aus den binären HL AD, BD und CD kann man in ähnlicher Weise
![\begin{eqnarray}
{\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}(x,y) & = & \frac{x\,(1-y)\,(1-x-y)\,{...
..._{\mathrm{ABD}}(x)}
{+ y\,(1-y) - x\,y\left(1+k\,(1-x-y)\right)}
\end{eqnarray}](img157.gif) |
(4.6) |
herleiten, wobei der freie Parameter k analog zu Typ II aus
![\begin{displaymath}{\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}({\textstyle {1\over 3}},{\textstyle ...
...r 2}})+{\cal T}_{\mathrm{ABD}}({\textstyle {1\over 2}})\right)
\end{displaymath}](img158.gif) |
(4.7) |
bestimmt werden kann zu
![\begin{displaymath}k = 9 - 6\;\frac{{\cal T}_{\mathrm{ACD}}({\textstyle {1\over ...
...over 2}})+{\cal T}_{\mathrm{ABD}}({\textstyle {1\over 2}})}\,.
\end{displaymath}](img159.gif) |
(4.8) |
In der Praxis wird meist die einfachere Form aus (4.2) bevorzugt.
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Christian Koepf
1997-11-11