Totale Verschiebung  

Die totale Verschiebung der einzelnen Zustände ergibt sich aus der Superposition der hydrostatischen und uniaxialen Komponenten. So ist die absolute Verschiebung der LB Täler (j läuft über alle Minima im Tal i) beziehungsweise der VB Kante (j aus hh,lh, so)

$$\begin{eqnarray} \Delta E_{\mathrm{c}}^{i} & = & \Delta E_{\mathrm{c,av}}^{i} +... ...v}}^{} + \max_j \left(\Delta E_{\mathrm{v}}^{j}\right). \nonumber \end{eqnarray}$$ (5.23)

Die Änderung der Bandabstände sind $\Delta E_{\mathrm{}}^{i} = \Delta E_{\mathrm{c}}^{i} - \Delta E_{\mathrm{v}}^{}$.Gemessene Werte für die Deformationspotentiale sind in Tabelle 5.3 angegeben.

 

 

Tabelle 5.3: Experimentell bestimmte Werte der Deformationspotentiale (in eV)

Größe	GaAs			InAs
$A_{\mathrm{v}}$		-0.7a
$B_{\mathrm{v}}^{001}$		-1.7b,-2.0c			-1.8b
$B_{\mathrm{v}}^{111}$		-4.55b			-3.6b
	$\varGamma$	L	X	$\varGamma$	L	X
$\frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{d}p}$ ($10^{-11}\frac{\mathrm{eV}}{\mathrm{Pa}}$)	10.73d	2.8de	-1.34d,-0.8e	10.0d,11.4f	4.0g	-2.1g
$A_{\mathrm{c}}^{}$	-9.3a,-8.6h,-7.0i	-2.8j	0.3j	-5.8h
$B_{\mathrm{c}}^{}$	-	19.6c		-	-3.6c
$A_{\mathrm{}}^{}$	-9.77c,-8.1k	-2.1k	1.01k	-6.0c,-5.8k	-2.32k	1.22k

^a Ref. [161]

^b Ref. [2]

^c Ref. [129]

^d Ref. [217]

^e Ref. [3]

^f Ref. [216]

^g Ref. [24]

^h Ref. [5]

ⁱ Ref. [29]

^j aus $A_{\mathrm{}}^{}$ und $A_{\mathrm{v}}$ berechnet

^k berechnet mittels (5.15)

Da einerseits manche Werte entweder fehlen, wie im Falle der höheren LB Täler, oder mit einiger Unsicherheit behaftet sind, sind theoretische Berechnungen sehr hilfreich.

Daher werden in Tabelle 5.4 von Cardona und Christensen [29] und Van de Walle [205] berechnete absolute Deformationspotentiale angeführt. Generell erscheinen die Werte aus [205] in besserer Übereinstimmung mit experimentellen Daten und auch konsistenter mit dem Druckkoeffizienten der Bandlücke (5.15), der ein guter Test ist, sodaß im Rahmen dieser Arbeit die Deformationspotentiale von Van de Walle verwendet werden.

 

 

Tabelle 5.4: Theoretisch bestimmte Werte der Deformationspotentiale (in eV) nach [205]

Größe	GaAs			InAs
${E_{\mathrm{v,av}}}$		-6.92			-6.67
$A_{\mathrm{v}}$		1.16,-1.6a			1.0,-0.6a
$B_{\mathrm{v}}^{001}$		-1.9			-1.55
$B_{\mathrm{v}}^{111}$		-4.23			-3.1
	$\varGamma$	L	X	$\varGamma$	L	X
$A_{\mathrm{c}}^{}$	-7.17,-8.8a	-4.4a	0.5a	-5.08,-7.3a	-3.0a	1.3a
$B_{\mathrm{c}}^{}$	-	14.26	8.61	-	11.35	4.5
$A_{\mathrm{}}^{}$	-8.33,-7.2a	-2.8a	2.1a	-6.08,-6.7a	-2.4a	1.9a

^a Ref. [29]

Auch wenn ein gewisser Unsicherheitsbereich besteht, so zeigen doch alle Ergebnisse, daß die absolute hydrostatische Verschiebung des direkten Tals bei $\varGamma$ weit größer ist als die des VB Maximums, zumindest um den Faktor 5. Die höheren LB Täler werden von mechanischer Deformation weniger stark beeinflußt, die X Täler verschieben sich sogar in entgegengesetzter Richtung. Die Verschiebung der Bandminima unter Verspannung ist in Abbildung 5.2 für Ga_0.75In_0.25As dargestellt.

  

Abbildung 5.2: Bandkantenenergien von Ga_0.75In_0.25As unter Einfluß biaxialer Verspannung

  

Abbildung 5.3: Direkte Bandlücke von Ga_xIn_1-xAs für verschiedene Legierungszusammensetzungen unter biaxialer Verspannung

Abbildung 5.3 zeigt die Bandlücke von Ga_xIn_1-xAs bei Raumtemperatur über der Verspannung für verschiedene Mischungsverhältnisse. Der sehr große Variationsbereich von ${E_{\mathrm{g}}^{}}$, der erzielt werden kann, ist offensichtlich. Die Werte, die mittels pseudomorphem Wachstum auf (001) GaAs, InAs und InP erreicht werden, sind ebenfalls angezeigt. Neben den wichtigen Ga-reichen Legierungen auf GaAs sind die auf InP angepaßten Verbindungen sehr gut charakterisiert. Bei letzteren kann sowohl kompressive wie auch Dehnungsverzerrung studiert werden. In jüngster Zeit haben aber auch hochverspannte Schichten und In-reiche Materialien, die besonders für schnelle Niedertemperaturanwendungen interessant sind, stark an Bedeutung gewonnen [49,228].

In Abbildung 5.4 ist die spannungsabhängige Änderung der direkten Bandlücke für Ga_xIn_1-xAs auf InP dargestellt. Biaxiale Kompression (x<0.47, $e_\Vert< 0$) erhöht die Bandlücke schwächer als gleich starke Dehnung (x>0.47, $e_\Vert\gt 0$) sie verkleinert. Die Übereinstimmung des berechneten ${E_{\mathrm{}}^{\varGamma}}$ mit Meßwerten bei $300\,\mathrm{K}$ (Geddo et al.  [66]) und niedrigen Temperaturen (Kuo et al.  [125], Bassignana et al.  [16]) sowie auch mit ``tight-binding'' Rechnungen von Jaffe und Singh [97] ist evident. Die lineare Approximation bei $300\,\mathrm{K}$ von Singh [191] sagt hingegen eine größere Verschiebung für In-reiche Zusammensetzungen voraus. Eine wichtige Schlußfolgerung an dieser Stelle ist, daß die Verschiebung der Bandkantenenergien aufgrund mechanischer Verspannung in guter Näherung temperaturunabhängig ist, wie auch in [20] gefolgert wurde, obwohl die meisten verwendeten Grundparameter Werte bei Raumtemperatur sind.

  

Abbildung 5.4: Änderung der direkten Bandlücke von Ga_xIn_1-xAs für pseudomorphes Wachstum auf InP unter Verspannung, ${E_{\mathrm{str}}^{\varGamma}}(x)-{E_{\mathrm{}}^{\varGamma}}(x)$

Abbildung 5.5 zeigt die berechnete Bandlücke für kohärente Verspannung auf GaAs, InAs und InP. Ebenso sind die von Bassignana et al.  [16] angegebenen Anpassungen an experimentelle Daten enthalten, die eine lineare x Abhängigkeit der Bandlücke darstellen, sowie die Ergebnisse von Singh [191], die einen linearen Verlauf der Bandkantenverschiebung für niedrige Werte der Verspannung zeigen. Die Daten von Taguchi und Ohno [196] sind selbstkonsistente Pseudopotential-Berechnungen.

  

Abbildung 5.5: Direkte Bandlücke von Ga_xIn_1-xAs für den unverspannten Fall und pseudomorphes Wachstum auf GaAs, InAs und InP

Näherungsweise kann die absolute Verschiebung der einzelnen Bandextrema durch Polynome in $e_\Vert$ mit materialabhängigen Koeffizienten modelliert werden:

$$\Delta E_{\mathrm{}}^{i} = \sum_{m=1}^3 \sum_{n=0}^2 p_{mn}^i\,x^n\,e_\Vert^m.$$ (5.24)

Die Verschiebung der LB Minima und des hh Bands sind linear in $e_\Vert$, für das lh and so Band sind höhere Terme notwendig. Die durch nichtlineare Regression berechneten Koeffizienten p_mn sind für GaInAs in Tabelle 5.5 angegeben. Der Grad der x Polynome wurde so gewählt, daß der relative Fehler kleiner 1% ist.

   

Tabelle 5.5: Koeffizienten zur Interpolation der Verschiebung der Bandkanten von Ga_xIn_1-xAs unter (001) Spannung

	p10	p11	p12	p20	p21	p22	p30	p31	p32
$\Delta E_{\mathrm{c}}^{\varGamma}$	-4.64	-3.21
$\Delta E_{\mathrm{c}}^{111,\bar{1}11,1\bar{1}1,11\bar{1}}$	-2.74	-2.08
$\Delta E_{\mathrm{c}}^{001}$	-5.08	-5.32
$\Delta E_{\mathrm{c}}^{010,100}$	4.32	2.00	-0.31
$\Delta E_{\mathrm{v}}^{hh}$	-2.31	-0.033
$\Delta E_{\mathrm{v}}^{lh}$	4.15	0.74		55.07	17.00	5.04	-469.5	-231.8	-119.2
$\Delta E_{\mathrm{v}}^{so}$	0.92	0.355		-55.07	-17.00	-5.04	469.5	231.8	119.2