Zur Lösung der Boltzmanngleichung werden in der Bauteiltechnologie verschiedene numerische Verfahren angewandt. Am gebräuchlichsten und als numerisch effizienteste Methode hat sich das sogenannte Drift-Diffusionsmodell bewiesen [24][25]. Für das Drift-Diffusionsmodell werden die nullte Momentengleichung, die Information über die Teilchenerhaltung angibt, als auch die erste Momentengleichung, die die Impulserhaltung beschreibt, herangezogen. Aufgrund der Robustheit und der vielfältigen Erweiterungsmöglichkeiten in bezug auf physikalische Effekte (Elektroneneinfang und -freisetzung, Band-zu-Band-Tunneln) konnte das Drift-Diffusionsmodell in Verbindung mit der Poissongleichung zur Simulation von modernen Bauelementen sehr erfolgreich angewandt werden. Das hydrodynamische Transportmodell [26][27] [28][29][30][31][32][33] berücksichtigt im Gegensatz zum Drift-Diffusionsmodell zusätzlich noch die Energie der Ladungsträger. Beide Modelle sind auf sehr einfache, parabolische Bandstrukturen beschränkt.
Eine rigorose Auffindung der Verteilungsfunktion ist nur mit dem Einsatz von
numerischen Techniken möglich, nämlich der Monte-Carlo-Methode [34]
oder der iterativen Technik [35]. Die Monte-Carlo-Methode hat bei der
Analyse von hochenergetischen Ladungsträgern das Verständnis in physikalischer
Hinsicht entscheidend verbessert. Im Gegensatz zu den oben angeführten
approximativen Verfahren kann die Monte-Carlo-Methode nicht direkt von der
Boltzmanngleichung abgeleitet werden
. Stattdessen versucht man
mittels Simulation, die Verteilungsfunktion eines oder mehrerer Teilchen in
einem abgeschlossenen System nachzubilden, ohne daß zusätzliche Annahmen die
Transportgleichung einschränken.
Da sich diese Arbeit fast ausschließlich mit Simulationen mit der Monte-Carlo-Methode beschäftigt, soll in den folgenden Kapiteln eine Einführung in die Grundlagen dieses stochastischen Verfahrens gegeben werden. Danach wird auf der Aufbau eines solchen Programmes erklärt und die wichtigsten Schritte zur Durchführung einer solchen Simulation näher beschrieben. Dazu zählen die Bewegungsgleichungen, die Dauer eines freien Fluges und die Streuprozesse. Anschließend wird noch die Monte-Carlo-Poissonkopplung kurz erläutert, weil sich mit den Ladungsträgerkonzentrationen auch die Feldverteilung ändert.