1.3.1 Fredholm-Methode

 Die Lösung des Streuproblems (1.1) führte uns auf die Integralgleichung (1.26) für $\Psi$. Diese kann nach Fredholm allgemein geschrieben werden als

$$\Psi (\gamma;\vec{k},\vec{x})={\mathrm e}^{i\vec{k}\cdot\vec... ...{x},\vec{y}) \Psi (\gamma;\vec{k},\vec{y}) {\mathrm d}\vec{y},$$ (1.30)

mit dem Kern

$$K(\vec{x},\vec{y})=-\frac{1}{4\pi\vert \vec{x}-\vec{y}\vert} \,{\mathrm e}^{ik \vert\vec{x}-\vec{y}\vert} U (y)$$ (1.31)

(1.30) wird als Fredholm-Gleichung bezeichnet [WO75]. $\gamma$ ist eine Konstante, die die Stärke des Potentials charakterisiert. Das Streuproblem ist nun reduziert auf die Lösung einer Integralgleichung der Form (1.30) mit einem Potential U, das im Kern (1.31) vorkommt. Bei einem gegebenen physikalischen Problem ist U gegeben, sodaß wir $\gamma$ eins setzen können. Von einem allgemeineren mathematischen Standpunkt wollen wir jedoch $\gamma$ als Parameter der Integralgleichung betrachten. Nach Fredholm kann die Lösung von (1.30), falls eine solche existiert, geschrieben werden als

$$\Psi (\gamma;\vec{k},\vec{x})={\mathrm e}^{i\vec{k}\cdot\vec... ...\gamma)} {\mathrm e}^{i\vec{k}\cdot\vec{y}} {\mathrm d}\vec{y}$$ (1.32)

mit

$$\begin{eqnarray}\bigtriangleup (\gamma;\vec{k},\vec{y} )&=&K(\vec{x},\vec{y}) +... ..._1})& \cdots & K(\vec{x_n},\vec{x_n})\\ \end{array} \right\vert\end{eqnarray}$$ (1.33)

$$\begin{eqnarray} \!\!\!\!\!\bigtriangleup (\gamma)\!=\! 1+\!\sum_{n=1}^{\infty}... ...})& \cdots & K(\vec{x_n},\vec{x_n})\\ \end{array} \!\right\vert\end{eqnarray}$$ (1.34)

Man kann zeigen, daß die beiden Reihen $\bigtriangleup (\gamma;\vec{k},\vec{y} )$ und $\bigtriangleup (\gamma)$ für jedes $\gamma$ konvergieren vorausgesetzt, daß $K(\vec{x},\vec{y} )$ stetig ist [WO75], wenn also links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und identisch sind. Falls $\bigtriangleup (\gamma) \neq 0$, dann gibt (1.33) und (1.34) eingesetzt in (1.32) die Lösung von (1.30).

Bei Streuproblemen ist der Kern (1.31) singulär für $\vec{x}=\vec{y}$. Man kann diese Singularität umgehen, indem man $\bigtriangleup (\gamma;\vec{k},\vec{y} )$ und $\bigtriangleup (\gamma)$ in (1.32) formal mit ${\exp}\left( \gamma \int K \left(\vec{x},\vec{x} \right) {\mathrm d}\vec{x} \right)$ multipliziert, sodaß wir Ausdrücke für $\bigtriangleup (\gamma;\vec{k},\vec{y} )$ und $\bigtriangleup (\gamma)$ erhalten, in denen alle $K (\vec{x_i},\vec{x_i})$, $i=1,\ldots ,n$ gleich Null werden [JP51,MF53b].