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1.3.2 Born-Näherung als sukzessive Approximation

Man kann die Gleichung (1.20) auch direkt ohne Kenntnis der Streuphasen erhalten. Falls in (1.1) die Störung $\gamma U(r) /k^2$,,klein`` in der Weise ist, daß

\begin{eqnarray}\frac{\gamma}{k^2} \int \Psi^{\ast}(\vec{r}) U(r) \Psi(\vec{r}){\mathrm d}\vec{r} \ll 1,\end{eqnarray} (1.35)


gilt, kann man $\Psi(\vec{r})$ in eine Potenzreihe nach $\gamma$ entwickeln

 \begin{eqnarray}\Psi(\vec{r})=\Psi^{(0)} (\vec{r}) + \gamma\,\Psi^{(1)} (\vec{r})+\gamma^2\,\Psi^{(2)} (\vec{r})+ \cdots.\end{eqnarray} (1.36)


Durch Gleichsetzen gleicher Ordnungen in $\gamma$ von (1.1) und (1.36) erhält man folgendes Gleichungssystem:

\begin{eqnarray}\left( \bigtriangleup +k^2 \right) \Psi^{(0)}(\vec{r})&=&0\nonum... ...\gamma\,U(r) \, \Psi^{(1)}(\vec{r})\\ \vdots & & \vdots\nonumber\end{eqnarray} (1.37)


welches immer noch exakt ist. In erster Ordnung erhalten wir als Lösungsfunktion die ebene Welle. In zweiter Ordnung erhalten wir für $\Psi(\vec{r})$

\begin{eqnarray}\Psi^{(0)} (\vec{r}) +\Psi^{(1)} (\vec{r})&=&{\mathrm e}^{i\vec{... ...t\vec{r}}- \frac{{\mathrm e}^{ikr}}{r}\,f(k,\theta)^{\mathrm{B1}}\end{eqnarray} (1.38)


Durch Vergleich mit (1.20) erkennt man also, daß wir mit Hilfe der Wellenfunktion der Ordnung n die Streuamplitude der Ordnung n-1 erhalten.

Um höhere Ordnungen der Streuamplitude zu berechnen, ist es einfacher direkt von der Integraldarstellung der Streumamplitude i'ter Ordnung auszugehen, die folgende Form [Joa75,Møl30] hat:

\begin{displaymath}f_{i} = -2\pi^2 \langle \Phi_{\vec{k}_{f}} \vert U \,G^{+}\,U\ldots G^{+}\,U \vert \Phi_{\vec{k}_{i}} \rangle\end{displaymath} (1.39)


Die Green-Funktion kann als Propagator interpretiert werden, der auf das Elektron wirkt. In zweiter Ordnung erhalten wir

 \begin{displaymath}f_{2} = -2\pi^2 \langle \Phi_{\vec{k}_{f}} \vert U \,G^{+}\,... ... } \, \langle \vec{q}\vert U \vert \vec{k}_{\mathrm i}\rangle \end{displaymath} (1.40)


Das Elektron im Zustand $\vec{k}_{\mathrm i}$ wechselwirkt mit dem Potential U, wobei es in den Zustand $\vec{q}$ übergeht. Nachdem es ein zweites Mal mit dem Potential wechselwirkt, bewegt es sich mit dem Zustand $\vec{k}_{\mathrm f}$ weiter. Für ein geschirmtes Coulomb-Potential der Form

\begin{eqnarray}U(r)&=& -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_{0}\epsilon_{\mathrm{sc}}}\,\frac{{\mathrm e}^{-\beta r}}{r}\end{eqnarray} (1.41)


lassen sich die Matrixelemente leicht berechnen, sodaß wir

 \begin{displaymath}f_{2} =\frac{U_{0}^2}{2\pi^2} \,\int {\mathrm d}\vec{q} \, \... ...( \vert\vec{q}- \vec{k}_{\mathrm f}\vert^2 + \beta^2 \right) }\end{displaymath} (1.42)


erhalten, wobei wir $U_{0}= \frac{2me^2}{\hbar^2\epsilon_{0}\epsilon_{\mathrm{sc}}}$ definiert haben. Unter Benützung der Feynman-Identität (Anhang C)

\begin{displaymath}\frac{1}{a\, b} = \int\limits_{0}^{1} \frac{{\mathrm d}t }{\left[ a\,t +b\, \left( 1-t \right) \right]^2}\end{displaymath} (1.43)


läßt sich (1.42) schreiben als

 \begin{displaymath}f_{2} =\frac{U_{0}^2}{2\pi^2} \,\int\limits_{0}^{1} \,{\math... ...1}{ \left( \Gamma^2 + \vert\vec{q}-\vec{B} \vert^2 \right)^2} \end{displaymath} (1.44)


wobei $\vec{B} = t\,\vec{k}_{\mathrm i} + (1-t ) \,\vec{k}_{\mathrm f}$ gilt. Im Anhang C wird gezeigt, daß man (1.44) schreiben kann als

\begin{displaymath}f_{2} = \frac{U_{0}^2}{2\pi^2} \,{\cal I}_{1,1} (\beta,\beta;\vec{k_{\mathrm{} i }},\vec{k_{\mathrm{} f }};k) \; .\end{displaymath} (1.45)


Man erhält schließlich für die Born-Amplitude zweiter Ordnung einer punktförmigen Ladung folgenden Ausdruck [Joa75]

  \begin{eqnarray}f_{2}& = & \frac{{ U_{0}}^2}{q A(q)} \left[ \arctan {{\beta q}... ... A (q)&=& \sqrt{{\beta^4} + 4\,{\beta^2}\,{k^2} + {k^2}\,{q^2}} \end{eqnarray} (1.46)



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Kaiblinger-Grujin Goran
1997-12-06