Die hydrodynamische Energiebilanzgleichung (2.119) stellt eine Bilanzgleichung der kinetischen Energie des Elektronensystems unter der Wirkung äußerer Kräfte dar. Sie enthält die Driftenergie und die kinetische Energie der thermischen Anregung der Elektronen. Die Tatsache der ortsabhängigen, potentiellen Energie der Elektronen infolge der durch die inhomogene Dotierung des Halbleiters bedingten eingebauten Potentiale ist in der hydrodynamischen Energiebilanzgleichung nicht berücksichtigt. Ebensowenig wird die Änderung der potentiellen Energie der Ladungsträger infolge von Ladungsträgerrekombinationsprozessen beschrieben.
Diese Beschränkung von Gl. (2.119) auf den Sonderfall eines homogenen Einbandleiters kommt in Gl. (4.72) dadurch zum Ausdruck, daß die thermoelektrischen Kräfte konstant sind. Auch in Gl. (4.73) wird die Ortsabhängigkeit der Elektronenkonzentration 'post hoc' eingeführt, indem die Feldstärke mittels der Stromrelation (2.129) ausgedrückt wird.
Um einen grundsätzlichen Vergleich der thermoelektrischen
Transporttheorie auf der Basis der Hydrodynamik und der irreversiblen
Thermodynamik schon im Ansatz zu ermöglichen, muß das Verhältnis
zwischen Gl. (2.110) und Gl. (4.23) geklärt werden.
Die Tatsache, daß Gl. (2.110) lediglich die kinetische Energie
der Elektronen enthält, während (4.23) die Gesamtenergie des
Elektronensystems darstellt, legt nahe,
die hydrodynamische Bilanzgleichung der
kinetischen Energie (2.110) in geeigneter Weise zu ergänzen,
um eine hydrodynamische Bilanzgleichung der Gesamtenergie des
Elektronensystems zu erhalten.
Die Idee ist, den in Gl. (2.22) gegebenen mikroskopischen Zusammenhang
makroskopisch in Form von Bilanzgleichungen darzustellen.
Wie die Gesamtenergie 
des einzelnen Elektrons im Bändermodell als
Summe der potentiellen Energie und der kinetischen Energie aufgefaßt
werden kann, muß die Bilanzgleichung der Gesamtenergie 
des
Elektronensystems als Summe der Bilanzgleichungen der potentiellen und
kinetischen Energie dargestellt werden können.
Die Bilanzgleichung der kinetischen Energie des Elektronensystems entspricht
dem zweiten Moment der Boltzmanngleichung.
Verwendet man Gl. (2.24) und (3.24) kann
Gl. (2.110) folgendermaßen geschrieben werden
(
):
Die Bilanzgleichung der potentiellen Energie des Elektronensystems kann
aus der Elektronenkontinuitätsgleichung (3.22) hergeleitet werden.
Dividiert man Gl. (3.22) mit 
und multipliziert sie mit der
Energie der Leitungsbandkante 
, erhält man nach kurzer Rechnung:
Gl. (4.80) berücksichtigt Inhomogenitäten der potentiellen Energie aufgrund der Dotierung sowie Interbandübergänge in einem Zweibandhalbleiter. Der erste Term der rechten Seite beider Bilanzgleichungen (4.79), (4.80) stellt Joulesche Wärmeenergie dar. Während sie in (4.80) als Senke der potentiellen Energie auftritt, stellt sie in (4.79) mit entgegengesetztem Vorzeichen eine Quelle kinetischer Energie dar. Insgesamt kompensiert sich die Joulesche Energie in Gl. (4.79) und (4.80). Der Verlust der potentiellen Energie ist gleich dem Gewinn an kinetischer Energie. Im Hinblick auf die Joulesche Energie erscheint das Elektronensystem als kontinuummechanisches Pendel, das - bildlich gesprochen - infolge der Irreversibilität der Energieumwandlung nur in eine Richtung schwingt.
Die Addition der Bilanzgleichungen der kinetischen und potentiellen Energie liefert die Bilanzgleichung der Gesamtenergie des Elektronensystems:
Um die Äquivalenz des hydrodynamischen und thermodynamischen
Ansatzes zur Behandlung thermoelektrischer Transportprobleme
zu zeigen, wird aus Gl. (4.81) eine Bilanzgleichung
für die innere Energie (im engen Sinn) 
des Elektronensystems
entwickelt.
Eine analoge Vorgehensweise liefert Bilanzgleichungen der inneren Energie
des Löcher- und Phononensystems.
Setzt man die Gesamtbilanzgleichung für die innere Energie
(im engen Sinn) 
des Gesamtsystems in die
Gibbs Fundamentalform für (4.19) ein,
läßt sich eine Wärmeflußgleichung herleiten, die
ihrer mathematischen Form nach vollkommen Gl. (3.54) entspricht.
Aus der Definition der Entropieflußdichte (4.63) kann nach Gl. (2.179) unmittelbar eine Wärmestromdichte gewonnen werden. Mit Hilfe des Wärmeflusses
und der inneren Energie 
erhält man:
Gl. (4.83) ist eine Bilanzgleichung der inneren Energie des Elektronensystems. Die innere Energie entspricht der kinetischen Energie.
Gl. (4.82) zeigt zwei gleichgwertige Darstellungen des Wärmeflusses. Erstere ist Gl. (4.28) äquivalent. Die zweite Form ist besonders anschaulich. Sie stellt den Wärmefluß als Summe der kinetischen Energie und der chemischen Energie dar.
In gleicher Weise kann die Bilanzgleichung für die innere Energie 
(im eigentlichen Sinn) des Löchersystems hergeleitet werden:
Für das Phononensystem gilt:
Addiert man die Teilbilanzgleichungen (4.83), (4.84), (4.85), ergibt sich unter Berücksichtigung von Gl. (4.68) die Bilanzgleichung der inneren Energie des Halbleiters:
Setzt man Gl. (4.86) in die Gibbs Fundamentalgleichung (4.17)
ein, folgt die Wärmeflußgleichung:
, 
können nach Gl. (2.65), (2.66) durch
, 
ersetzt werden.
Daraus folgt unmittelbar die Äquivalenz der hydrodynamischen (4.88)
mit der thermodynamischen Gesamtenergiebilanz (3.54), was zu
beweisen war.
